发布时间 : 星期六 文章2009年数学建模A题 获奖论文 - 图文更新完毕开始阅读
代入数值计算得：J?51.9989kg?m2。 5.2 问题二
问题二的解决，要求得到组合的机械惯量就必须根据已知量先求得三个飞轮的转动惯量，根据问题的已知条件我们可以从转动惯量的定义出发求得三个飞轮的转动惯量，然后加上基础惯量，经过组合得到相应的机械惯量。试验时，制动过程中，电动机在电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，当要求电动机补偿的惯量，我们可以通过问题一得到的等效惯量与组合的机械惯量之间的差值求得。
5.2.1 计算三个飞轮的转动惯量
由刚体绕定轴转动的转动惯量的定义[1]知：J??R2dm，所以要计算三个飞轮的转动惯量Ji，必须先计算它们的质量Mi。根据几何学的相关知识：
飞轮的质量=钢材的密度?飞轮的体积
=钢材的密度?飞轮的平面面积?飞轮的厚度
用公式表示，即：Mi???v???Shi，而飞轮的平面面积S??(R2?R1)（其中
R1,R2为飞轮的内外半径）。所以：
22Mi???Shi???(R2?R1)hi(i?1,2,3)
dm??ds，其中?表示单位面积的飞轮的质量，进而有
M??(R2?R1)hi2dm?ids?d(?R)??hi?2?RdR?2?R?hidR 22S?(R2?R1)综合以上分析可导出三个飞轮的转动惯量为：
2222J??R2dm??R2?2?R?hidR
R2?2??hi?R3dR
R1=
??hi2(R2?R1)
44代入数值计算得：J1?30.0083kg?m2,J2?60.0166kg?m2,J3?120.0332kg?m2。
5.2.2 计算补偿惯量
飞轮是固定在主轴上的，主轴的惯量即基础惯量J0?10kg?m2，然而三个飞轮的惯量已求出，经过组合得到8组机械惯量的值(单位为：kg?m2)，如下表1：
表1 组合机械惯量的值
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 飞轮1 无 有 无 有 无 有 无 有 飞轮2 无 无 有 有 无 无 有 有 飞轮3 无 无 无 无 有 有 有 有 机械惯量(kg·m2) 10 40.0083 70.0166 100.0249 130.0332 160.0415 190.0498 220.0581 注：飞轮1,2,3分别为厚度为0.0392,0.0784,0.1568(m)的三个飞轮。
问题一得到的等效惯量为51.9989kg?m2，它与机械惯量的差值即为电动机需要补偿的惯量，由于电动机能补偿的惯量范围为[-30,30]kg?m2，我们选取出符合条件的机械惯量为：40.0083kg?m2,70.0166kg?m2，此时电动机补偿的惯量为：11.9906kg?m2,?18.0177kg?m2。 5.3 问题三
5.3.1 电动机驱动电流模型的建立
电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比(比例系数取为k=1.5 A/N·m)，所以要求电动机的驱动电流可以先求其产生的扭矩(扭矩即力矩[2])。
假设t时刻电动机扭矩为M电(t)，主轴的角速度为w(t)，经过一段很小的时间?t后，主轴的角速度变为w(t??t)，则在?t时间内根据动能定理[1]实验中制动扭矩做得功为：
11w(t)?w(t??t)J机械w2(t??t)?J机械w2(t)?M电(t)?t 222路试时，制动扭矩做的功为：
121Jw(t??t)?Jw2(t) 22由它们近似相等，得到：
11w(t)?w(t??t)11J机械w2(t??t)?J机械w2(t)?M电(t)?t=Jw2(t??t)?Jw2(t)
22222考虑到时间?t取的很短，由上式得到电动机扭矩：
M电(t)=(J机械-J)w(t??t)?w(t)
?t =J补偿w(t)?w(t??t)
?t求得电动机的扭矩后，则可得到电动机在时刻t的驱动电流为：
i(t)?kJ补偿w(t)?w(t??t)……………………………(1)
?t其中w(t)与w(t??t)分别为t以及t+?t时刻主轴的瞬时角速度（可由瞬时转速求得）。
5.3.2 电动机驱动电流的计算
当时间间隔?t取的非常小时，(1)式也可写为：
i(t)??kJ补偿dw??kJ补偿?(t)，(?(t)为t时刻的角加速度)…………(2) dt而问题三中，考虑到是匀减速，所以?(t)为一常数，记为?基于物理学的相关知识：
??w末-w初t间隔=
v末?v初r?t间隔=?50rad/s2=-9.7125rad/s2
0.286?5?3.6当补偿惯量为11.9906kg?m2，代入(2)式得驱动电流(为常数)：
i1?1.5?11.9906?9.7125=174.6881 A
同理，当补偿惯量为?18.0177kg?m2时，驱动电流为i2=-262.4954 A 5.4 问题四
题目为评价控制方法的优劣，我们可以分别算得路试时制动过程中消耗的能量和试验台上制动器在制动过程中消耗的能量。
5.4.1 计算路试时制动器制动过程中消耗的能量E路
E路主要由于动能的损失，这部分动能可以用等效的转动惯量来计算，路试
时制动过程中消耗的能量E路：
E路??Ek?1122J等效w初?J等效w末 22……………………………………(3)
其中w初?2?n初，w末?2?n末,J等效表示与路试时等效的转动惯量
(J等效?48kg?m2)； w初,w末表示主轴的初、末角速度；n初,n末表示主轴的初、末转速(n初?514257转/s,n末?转/s)。将数值带入(3)式计算得： 6060E路?52150J
而对于路试时消耗的能量也可以求出每一个时段(10ms一段)的消耗的能量
E路(i)(1?i?467)：
E路(i)? ?1122J等效wi?J等效wi?1 2211J等效(2?ni)2?J等效(2?ni?1)2 22其中wi,wi?1分别表示第i个时间段的飞轮初末角速度，由matlab算得的对应的值见附表。
5.4.2 计算试验台上制动器在制动过程中消耗的能量E试
由于主轴扭矩对主轴做功，做的功的大小即为所试验台上制动过程消耗的能量。即E试?M主???(??为扭矩对主轴做功时使主轴产生的角位移)。 然而题中所用的控制方法实验时，主轴的扭矩是以每隔10ms的瞬时值给出
的，考虑到每隔10ms这个时间段比较短，因此我们可以用前一时刻与后一时刻瞬时扭矩的平均值来近似代替这一时段的扭距，同时可以用前一时刻与后一时刻瞬时转速的平均值来近似计算这一时段的角位移。这样我们就将整个时段分成了467个小时段，基于此，便可算得每一时段(?t?10ms)所消耗的能量，这些能量的加和就是E试。