发布时间 : 星期二 文章最新人教A版选修2-2高中数学导学案全册课堂导学全文和答案更新完毕开始阅读
?π1?
曲线在点P?，?处的切线斜率是：
?62?
y′|x＝＝cos＝
π6π63. 2
2
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－，
3π?12?x－?， 故所求的直线方程为y－＝－?
6?23?即2x＋3y－
3π
－＝0. 23
规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键． 跟踪演练3 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程． 解 ∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)， 则y′|x＝x0＝2x0， 又∵PQ的斜率为k＝
4－1
＝1，而切线平行于PQ， 2＋1
1?11?
∴k＝2x0＝1，即x0＝，所以切点为M?，?.
2?24?11
∴所求的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
42
1．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝( ) A．0 C．6 答案 C
解析 ∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6. 2．函数f(x)＝x，则f′(3)等于( ) A.3
612x
B．0
3 2B．2x D．9
C．D．
答案 A
解析 ∵f′(x)＝(x)′＝
12x，∴f′(3)＝
123
＝3. 6
3．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( ) π??3π??
，π? A.?0，?∪?
4??4???π3π?
C．?，?
4??4答案 A
解析 ∵(sin x)′＝cos x，∵kl＝cos x，∴－1≤kl≤1， π??3π??
，π?. ∴αl∈?0，?∪?
4??4??
4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案
12
e 2
B．[0，π)
π??π3π??
D．?0，?∪?，?
4??24??
解析 ∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)， 即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1. 112
∴S△＝×1×|－e|＝e2.
22
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin的导数．因为y＝1－2sin＝cos x，
22
2
x2
x所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.
一、基础达标
1．下列结论中正确的个数为( )
1121xx①y＝ln 2，则y′＝；②y＝2，则y′|x＝3＝－；③y＝2，则y′＝2ln 2；④y＝log2x，则y′＝. 2x27xln 2A．0 C．2 答案 D
解析 ①y＝ln 2为常数，所以y′＝0.①错．②③④正确． 2．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为( )
1
B．1 D．3
x?1?
A.?，2? ?2??1?C．?－，－2? ?2?答案 B
11?1?
解析 y′＝??′＝－2＝－4，x＝±，故选B.
x2?x?
?1??1?
B．?，2?或?－，－2?
?2??2??1?D．?，－2?
?2?
3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于( ) A．4 C．5 答案 A
解析 f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4. 4．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有( ) A．1条 C．3条 答案 B
解析 ∵f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x20＝1，得x0＝±线．
9
5．曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是________．
?3?33?33?
，即在点?，?和点?－，－?处有斜率为1的切39?9??3?3B．2条 D．不确定 B．－4 D．－5
x答案 x＋y－6＝0
解析 ∵y′＝－2，∴y′|x＝3＝－1，
9
x∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为：
y－3＝－(x－3)即x＋y－6＝0.
1?1?
6．若曲线y＝x－在点?a，a－?处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.
2?2?答案 64
113
解析 ∵y＝x－，∴y′＝－x－，
222
1?13?
∴曲线在点?a，a－?处的切线斜率k＝－a－，
2?22?113
∴切线方程为y－a－＝－a－(x－a)．
22231
令x＝0得y＝a－；令y＝0得x＝3a.
22∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝·3a·a－＝a＝18，∴a＝64. 7．求下列函数的导数：
1x?52x?
(1) y＝x3；(2)y＝4；(3)y＝－2sin ?1－2cos?；
4?x2?(4)y＝log2x2－log2x.
1
232191242
33323?3??5?
解 (1)y′＝?3?′＝?x?′＝x－1＝x－＝.
?x?5555?5?52
5x4?1?
(2)y′＝?4?′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－5.
x?x?
x?2x?
(3)∵y＝－2sin?1－2cos?
4?2?
xx?
＝2sin ?2cos－1?＝2sin cos ＝sin x，
4?2?22
2
x?
x∴y′＝(sin x)′＝cos x. (4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x， ∴y′＝(log2x)′＝二、能力提升
8．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为( ) 1
A. eC．－e 答案 D
1B．－
eD．e
1
.
x·ln 2
解析
?y＝kxy′＝e，设切点为(x，y)，则?y＝ex?k＝ex.
00
00
x00
0
∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e. 9．曲线y＝ln x在x＝a处的切线倾斜角为答案 1
11
解析 y′＝，∴y′|x＝a＝＝1，∴a＝1.
π
，则a＝________. 4
xa10．点P是曲线y＝e上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为________． 答案
2 2
x解析
根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1. ∵y′＝(ex)′＝ex，
∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为11．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值． 解 ∵f(x)＝cos x，g(x)＝x，
∴f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，g′(x)＝x′＝1， 由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0， 即sin x≥1，但sin x∈[－1,1]， ∴sin x＝1，∴x＝2kπ＋
π
，k∈Z. 2
2. 2
12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解 根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x20)，则y′|x＝x0＝2x0＝1， 1?11?所以x0＝，所以切点坐标为?，?，
2?24?切点到直线x－y－2＝0的距离 ?11??－－2?
?24?72d＝＝，
82
72
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为. 8三、探究与创新
13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 014(x)． 解 f1(x)＝(sin x)′＝cos x，
f2(x)＝(cos x)′＝－sin x， f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x， f4(x)＝(－cos x)′＝sin x， f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)， f6(x)＝f2(x)，…，
fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4， ∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x．
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
[学习目标]
1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．
2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导． [知识链接]
前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？ 答 利用导数的运算法则． [预习导引] 1．导数运算法则
法则 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方 [f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x) ?f??gx?f′xgx－fx·g′x?′＝x?[gx]2(g(x)≠0)
2．复合函数的求导法则
复合函数 的概念 复合函数的求导法则
要点一 利用导数的运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1) y＝x3－2x＋3； (2)y＝(x2＋1)(x－1)； (3)y＝3x－lg x.
解 (1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2. (2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1， ∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.
1
(3)函数y＝3－lg x是函数f(x)＝3与函数g(x)＝lg x的差．由导数公式表分别得出f′(x)＝3ln 3，g′(x)＝，xln 10
xxx一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)) 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 利用函数差的求导法则可得