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高二数学 圆锥曲线方程 10，02，02
椭圆
1．如果方程x?my?2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数m的取值范围是（ ） A．（0，＋?） B．（0，2） C．（1，＋?） D．（0，1）
2．已知椭圆的焦点为F1（－1，0）和F2（1，0），P是椭圆上的一点，且F1F2是PF1 与
22PF2的等差中项，则该椭圆的方程为（ ）
x2y2x2y2x2y2x2y2 A．??1 B．??1 C．??1 D．??1
169161243343．一个椭圆的离心率e=
是 ．
1，准线方程是x=4，对应的焦点F（2，0），则椭圆的方程2x2y25?14．设椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，F、A分别是它的左焦点和右顶点，
2abB是它的短轴的一个端点，则∠ABF等于 ．
5．现有一块长轴长为10分米，短轴长为8分米的椭圆形玻璃镜子，欲从此镜中划出一块面
积尽可能大的矩形镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为 ． 例１ 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （１） 离心率为
2，准线方程为x??8； 2（２） 长轴与短轴之和为２０，焦距为45
解 （１）由准线方程为x??8，可知椭圆的焦点在x轴上．
?c2e??,22?xy?a2设所求椭圆的方程为2?2?1(a?b?0)，由题意，得 ? 解得2ab?a?8.??ca?42，c?4．所以b2?a2?c2?32?16?16．因此，所求椭圆的方程为
x2y2??1． 3216北京今日学易科技有限公司 网校客服电话：010-87029231 传真：010-89313603 第页 共71页 1
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x2y2（２）当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为2?2?1(a?b?0)
ab?2a?2b?20,?a?b?10, 由题意，得? 即 ?2 解得a?6， b?4．2?a?b?20.?2c?45.x2y2所以焦点在x轴上的椭圆的方程为??1，
3616x2y2同理可求当焦点在y轴上椭圆的方程为??1．
1636x2y2x2y2因此，所求的椭圆的方程为??1和??1．
36161636点评 求椭圆的标准方程，常用方法是待定系数法一般步骤是： （１） 根据焦点所在的位置设椭圆的标准方程； （２） 由已知条件求出待定的系数a、b；
（３） 将求得的系数a、b代入所设方程，即得所求椭圆的标准方程
椭圆中有关的参数主要有四个：半长轴的长a，半短轴的长b，半焦距c，离心率e．在求椭圆的标准方程时，已知条件常常和这些系数有关，而这些系数又不是相互独立的，它们之间有以下两个关系：a?c?b和e?222c． ax2y2
例２ 已知F1、F2分别为椭圆 + =1 的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为（2，
10064－6），P为椭圆上的一个动点，试分别求：
5
（1）|PM|＋|PF2|的最小值；（2）|PM|＋|PF2|的取值范围．
3解（1）椭圆右准线l：x= 义知
50
，过点P作PN⊥l于点N，如图所示则由椭圆的第二定3
|PF2| 35
= e = ，于是，|PN| = |PF2| |PN| 53
F1 y 5
所以，|PM| ＋ |PF2| = |PM| ＋ |PN|≥
3d(M，l)，其中d(M，l)表示点M到准线l的距445
离易求得 d(M，l)= 所以，|PM| ＋ |PF2|
3344
的最小值为 （此时点P为过点M且垂直于l
3的线段与椭圆的交点）
O M F2 P N l x
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（2）由椭圆的定义知|PF2|＋|PF1|=2a=20，故 |PM|＋|PF2| = |PM|－|PF1|＋20
1? |PM|－|PF1|≤|MF1| =10，故 |PM|＋|PF2|≤30（当且仅当P为有向线段MF1的延长线与椭圆的交点时取“=”）；
2? |PF1|－|PM|≤|MF1| =10，
故 |PM|＋|PF2|=20－（|PF1|－|PM|）≥10（当且仅当P为有向线段MF1的反向延长线与椭圆的交点时取“=”）综上可知，|PM|＋|PF2|的取值范围为[10，30]
例３ 已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，且AC?BC?0，|BC|=2|AC|． (1)求椭圆方程；(2)如果椭圆上两点P、Q，使?PCQ的平分线垂直AO，是否总存在实数?，使PQ??AB？请给出说明．
解(1) 以O为原点，直线OA为x轴建立直角坐标系，则A(2，0)，由已知设椭圆方程
x2y2?2?1∵AC?BC?0，∴AC?BC，又|BC|=2|AC| 又BC过椭圆中心O，∴C(1，1) 4bx2324将C(1，1)代入椭圆方程得b?，即椭圆方程为?y?1
4432(2)依题意可设PC：y=k(x－1)＋1，QC：y=－k(x－1)＋1
∵C(1，1)在椭圆上，x=1是方程(1＋3k2)x2－6k(k－1)x＋2k2－６k－1=0的一个根 ∴xp?1? ∴kPQ?3k2?6k?11?3k2yp?yQxp?xQ?，用－k代换xp中的k得xQ?xp?xQ?3k2?6k?11?3k2
k(xp?xQ)?2k11又∵B(－1，－1)， ∴kAB? 33 ∴PQ||AB，因此总存在实数?，使PQ??AB 【知能集成】
1．椭圆的定义中条件PF1?PF2?2a＞F1F2是轨迹为椭圆的充要条件．当
PF1?PF2?2a=F1F2时，轨迹是线段；当PF1?PF2?2a 2．在运用椭圆的两种定义解题时，要注意隐含条件a＞c，离心率确定椭圆的形状，焦点到对应准线的距离p确定椭圆的大小． 3．椭圆的几何性质集中体现在椭圆的中心、顶点、焦点、对称轴、准线和离心率上；它 ca2们又通过参数a ， b ， c，，来描述的． cax2y24．椭圆2?2?1(a?b?0)上的点P（x0,y0）的两个焦半径分别为r1?a?ex0 与 ab北京今日学易科技有限公司 网校客服电话：010-87029231 传真：010-89313603 第页 共71页 3 新课程网校[WWW.XKCWX.COM] 全力打造一流免费网校！ r2?a?ex0． 5．待定系数法和数形结合是研究椭圆方程的基本方法． 【训练反馈】 x2y2１．若椭圆，则其焦距为 （ ） ?2?1过点（－2，3） 16bA．25 B．23 C．45 D．43 2．椭圆x?my?1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ） A． 2211 B． C．2 D．4 42x23．设F1、F2为椭圆＋y2＝1的两焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，PF1?PF2 4的值为 （ ） A．0 B．1 C．2 D． 1 2x2y24．椭圆＝１的焦点Ｆ１和Ｆ２，点P在椭圆上，如果线段PＦ１的中点在y轴上，?123那么｜ＰＦ１｜∶｜ＰＦ２｜的值为（ ） A．７∶１ B．５∶１ C．９∶２ D．８∶３ 5．方程y2＝ax＋b与y2＝ax2－b表示的曲线在同一坐标系中的位置可以是（ ） 6．离心率e等于logpq（其中1≤p≤9，1≤q≤9，且p、q∈N）的不同形状的椭圆个数为（ ） A．25个 B．26个 C．27个 D．28个 x2y217．椭圆2?2?1(a?b?0)且满足a?3b，若离心率为e，则e2?2的最小值为 ． abe8．已知椭圆的长轴的长是短轴的长的５倍，且经过点（１０，－５）则椭圆的标准方程为 ． 北京今日学易科技有限公司 网校客服电话：010-87029231 传真：010-89313603 第页 共71页 4