发布时间 : 星期日 文章2020年红对勾一轮数学理人教版创新方案高考解答题专项训练1更新完毕开始阅读
8
b．当a＞9时，Δ＞0，
设方程2ax2＋ax－a＋1＝0的两根为x1，x2(x1＜x2)， 1
因为x1＋x2＝－2， 11
所以x1＜－4，x2＞－4. 1
由g(－1)＝1＞0，可得－1＜x1＜－4. 所以当x∈(－1，x1)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增； 当x∈(x1，x2)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减； 当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增． 因此函数有两个极值点． ③当a＜0时，Δ＞0，
由g(－1)＝1＞0，可得x1＜－1.
当x∈(－1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增； 当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减． 所以函数有一个极值点．
综上所述，当a＜0时，函数f(x)有一个极值点； 8
当0≤a≤9时，函数f(x)无极值点； 8
当a＞9时，函数f(x)有两个极值点． (2)由(1)知，
8
①当0≤a≤9时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为f(0)＝0，所以x∈(0，＋∞)时，f(x)＞0，符合题意． 8
②当9＜a≤1时，由g(0)≥0，得x2≤0， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又f(0)＝0，所以x∈(0，＋∞)时，f(x)＞0，符合题意． ③当a＞1时，由g(0)＜0，可得x2＞0.
所以x∈(0，x2)时，函数f(x)单调递减．
因为f(0)＝0，所以x∈(0，x2)时，f(x)＜0，不合题意． ④当a＜0时，设h(x)＝x－ln(x＋1)．
1x
因为x∈(0，＋∞)时，h′(x)＝1－＝＞0，
x＋1x＋1所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增．
因此当x∈(0，＋∞)时，h(x)＞h(0)＝0，即ln(x＋1)＜x. 可得f(x)＜x＋a(x2－x)＝ax2＋(1－a)x， 1
当x＞1－a时，ax2＋(1－a)x＜0， 此时f(x)＜0，不合题意． 综上所述，a的取值范围是[0,1]．
4．(2019·宝安桂城联考)已知函数f(x)＝lnx，h(x)＝ax(a∈R)． (1)若函数f(x)与h(x)的图象无公共点，试求实数a的取值范围；
?1?(2)是否存在实数m，使得对任意的x∈?2，＋∞?，都有函数y＝f(x)
??
mex
＋x的图象在g(x)＝x的图象的下方？若存在，请求出最大整数m的值；若不存在，请说明理由．
3参考数据：ln2≈0.693 1，ln3≈1.098 6，e≈1.648 7，e≈1.395 6.
解：(1)函数f(x)与h(x)的图象无公共点， lnx
等价于方程x＝a在(0，＋∞)上无解． 1－lnxlnx
令t(x)＝x(x＞0)，则t′(x)＝x2， 令t′(x)＝0，得x＝e.
当x变化时，t′(x)，t(x)的变化情况如下表：
x t′(x) t(x) (0，e) ＋ e 0 极大(e，＋∞) －
值 由表可知x＝e是函数t(x)的唯一极大值点， 1
故tmax＝t(e)＝e，
lnx1
故要使方程x＝a在(0，＋∞)上无解，只需a＞e，
?1?
故实数a的取值范围为?e，＋∞?.
??
(2)假设存在实数m满足题意，
?1?mex
则不等式lnx＋x＜x对x∈?2，＋∞?恒成立，
???1?
即m＜e－xlnx对x∈?2，＋∞?恒成立．
??
x
令r(x)＝ex－xlnx，则r′(x)＝ex－lnx－1， 1
令φ(x)＝ex－lnx－1，则φ′(x)＝ex－x，
?1??1?
因为φ′(x)在?2，＋∞?上单调递增，φ′?2?＝e
?????1?
?＝e－1＞0，且φ′(x)的图象在2，1?上连续， ??
?1?
所以存在x0∈?2，1?，使得φ′(x0)＝0，
??
1
2
－2＜0，φ′(1)
1
即e－x＝0，则x0＝－lnx0.
0
x0
?1?
所以当x∈?2，x0?时，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减；
??
当x∈(x0，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增．
x01
所以φ(x)的最小值为φ(x0)，且φ(x0)＝e－lnx0－1＝x0＋x－1＞
0
2
1x0·x0－1＝1＞0，
?1?
所以r′(x)＞0，r(x)在区间?2，＋∞?上单调递增．
??
?1?
所以m≤r?2?＝e
??
11
21121
－ln＝e ＋ln2≈1.995 25，
222
所以存在实数m满足题意，且最大整数m的值为1. 5．(2019·广州调研)已知函数f(x)＝alnx＋xb(a≠0)．
(1)当b＝2时，若函数f(x)恰有一个零点，求实数a的取值范围；
?1?
?，e(2)当a＋b＝0，b＞0时，对任意x1，x2∈e?，有|f(x1)－f(x2)|≤e?2成立，求实数b的取值范围．
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． 当b＝2时，f(x)＝alnx＋x2， 所以f′(x)＝a
2x2＋ax＋2x＝x(x＞0)． ①当a＞0时，f′(x)＞0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
－ 1－
1取xa
a0＝e ，则
f(x0)＝－1＋(e
)2
＜0，又f(1)＝1，所以f(x0)·f(1)＜0， 故此时函数f(x)恰有一个零点． ②当a＜0时， 令f′(x)＝0，解得x＝ －a2.
当0＜x＜
－a
2时，f′(x)＜0，
所以f(x)在?
??
0，
－a?
2??
上单调递减； 当x＞
－a2时，f′(x)＞0，
所以f(x)在?
??
－a
，＋∞?2??
上单调递增．
要使函数f(x)恰有一个零点，
需f??
－a?
?
2?＝aln －aa
?
2－2＝0，
?
－