发布时间 : 星期三 文章备考中考数学专题复习水平测试题及答案解析(经典珍藏版):16 菱形、矩形、正方形更新完毕开始阅读
【点睛】本题主要考查对正方形的性质,全等三角形的性质和判定,三角形的面积,勾股定理,含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行证明是解此题的关键.
6.(2019?达州)矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,已知B(2,2),点A在x轴上,点
C在y轴上,P是对角线OB上一动点(不与原点重合),连接PC,过点P作PD⊥PC,交x轴于点D.下列结论:
①OA=BC=2;
②当点D运动到OA的中点处时,PC2+PD2=7; ③在运动过程中,∠CDP是一个定值;
④当△ODP为等腰三角形时,点D的坐标为(其中正确结论的个数是( )
,0).
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【点拨】①根据矩形的性质即可得到OA=BC=2;故①正确;
②由点D为OA的中点,得到ODOA
,根据勾股定理即可得到PC2+PD2=CD2=OC2+OD2
=22+()2=7,故②正确;
③如图,过点P作PF⊥OA于F,FP的延长线交BC于E,PE=a,则PF=EF﹣PE=2﹣a,根据三角函数的定义得到BE
PE
a,求得CE=BC﹣BE=2
a
(2﹣a),根据相似
三角形的性质得到FD,根据三角函数的定义得到∠PDC=60°,故③正确;
④当△ODP为等腰三角形时,Ⅰ、OD=PD,解直角三角形得到ODOC,Ⅱ、OP=OD,
根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到∠OCP=105°>90°,故不合题意舍去;Ⅲ、OP=PD,根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到∠OCP=105°>90°,故不合题意舍去;于是得到当△
ODP为等腰三角形时,点D的坐标为(,0).故④错误.
【解析】解:①∵四边形OABC是矩形,B(2,2),
∴OA=BC=2;故①正确;
②∵点D为OA的中点,
∴ODOA,
∴PC2+PD2=CD2=OC2+OD2=22+()2=7,故②正确;
③如图,过点P作PF⊥OA于F,FP的延长线交BC于E, ∴PE⊥BC,四边形OFEC是矩形, ∴EF=OC=2,
设PE=a,则PF=EF﹣PE=2﹣a,
在Rt△BEP中,tan∠CBO,
∴BEPEa,
∴CE=BC﹣BE=2∵PD⊥PC,
∴∠CPE+∠FPD=90°, ∵∠CPE+∠PCE=90°, ∴∠FPD=∠ECP, ∵∠CEP=∠PFD=90°, ∴△CEP∽△PFD,
a(2﹣a),
∴,
∴tan∠PDC
∴∠PDC=60°,故③正确;
,
④∵B(2,2),四边形OABC是矩形,
∴OA=2,AB=2,
∵tan∠AOB∴∠AOB=30°,
,
当△ODP为等腰三角形时,
Ⅰ、OD=PD,
∴∠DOP=∠DPO=30°, ∴∠ODP=120°, ∴∠ODC=60°,
∴ODOC,
Ⅱ、当D在x轴的正半轴上时,OP=OD, ∴∠ODP=∠OPD=75°, ∵∠COD=∠CPD=90°,
∴∠OCP=105°>90°,故不合题意舍去; 当D在x轴的负半轴上时,OP′=OD′, ∵∠AOB=30°, ∴∠D′OP′=150°, ∵∠CP′D′=90°, ∴∠CP′O=105°, ∵∠COP′=60°, ∴∠OCP=15°, ∴∠BCP′=75°,
∴∠CP′B=180°﹣75°﹣30°=75°,
∴BC=BP′=2,