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§2一致收敛函数列与函数项级数的性质
教学目的与要求：
掌握一致收敛函数列的连续性、可积性、可微性以及函数项级数的连续性、可积性、可微性等。 教学重点，难点：
一致收敛函数列的连续性、可积性、可微性以及函数项级数的连续性、可积性、可微性等。 教学内容：
本节讨论由函数列与函数项级数所确定的函数的连续性、可积性、可微性. 定理13.8 设函数列?fn(x)?在(a,x0)?(x0,b)上一致收敛于f(x)，且对?n，
x?x0limfn(x)?an，则liman、limf(x)均存在且相等，即
n??x?x0n??x?x0x?x0n?? limlimfn(x)?limlimfn(x)。（即在一致收敛的条件下两种极限可换序）
证明: 先证{an}是收敛数列. 对任意??0, 由于{fn}一致收敛, 故有N, 当n?N和任意正整数p,
对一切x?(a,x0)?(x0,b)有
fn(x)?fn?p(x)??. (1) 从而 an?an?p?limfn(x)?fn?p(x)??.
x?x0 这样由柯西准则可知{an}是收敛数列. 设 liman?A. 再证 limf(x)?A.
n??x?x0由于?fn(x)?一致收敛于f(x)及{an}收敛于A, 因此对任意??0, 存在正数N, 当n?N时, 对一
切x?(a,x0)?(x0,b)有 fn(x)?f(x)??3. 和 an?A??3
同时成立. 特别取n?N?1, 有
fN?1(x)?f(x)??3. 和 aN?1?A??3
又limfN?1(x)?aN?1, 故存在??0, 当0?x?x0??时, fN?1(x)?aN?1?x?x0?3.
从而, 当x满足0?x?x0??时,
f(x)?A?f(x)?fN?1(x)?fN?1(x)?aN?1?aN?1?A?即limf(x)?A.
x?x0?3??3??3??,
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这个定理指出: 在一致收敛的条件下, ?fn(x)?中两个独立变量x与n, 在分别求极限时其求极限的顺序可以交换, 即
limlimfn(x)?limlimfn(x) (2)
n??x?x0x?x0n?? 类似地, 若函数列?fn(x)?在(a,b)上一致收敛且lim?fn(x)(或lim?fn(x))存在，则可推得
x?ax?blimlim?fn(x)?lim?limfn(x)(或 limlim?fn(x)?lim?limfn(x)).
n??x?ax?an??n??x?bx?bn?? 由定理13.8可得到以下定理.
定理13.9（连续性）若函数列?fn(x)?在区间I上一致收敛于f(x)，且对?n，fn(x)在I上连续，则其极限函数f(x)在I上也连续.
证明: 设x0为I上任意一点, 由于limfn(x)?fn(x0), 于是由定理13.8知limf(x)亦存在, 且
x?x0x?x0 limf(x)?limfn(x0)?f(x0), 因此f(x)在x0连续.
x?x0n??注：若各项为连续函数的函数列?fn(x)?在区间I上其极限函数不连续，则此函数列
?fn(x)?在区间I上不一致收敛.
例如：函数列x??的各项在(?1,1]上都是连续的, 但其极限函数
n?0,?1?x?1, f(x)??1,x?1?在x?1时不连续，从而推得x??在(?1,1]上不一致收敛.
n定理13.10（可积性）若函数列?fn(x)?在[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则
?ban??limfn(x)dx?lim?fn(x)dx. (3)
n??ab证明: 设f为函数列?fn(x)?在[a,b]上的极限函数. 由定理13.9, f在[a,b]上连续, 从而
fn(n?1,2,?)
与f在[a,b]上都可积.
因为函数列?fn(x)?在[a,b]上一致收敛于f, 故对任意??0, 存在正数N, 当n?N时, 对一
切x?[a,b], 都有
fn(x)?f(x)??. 精品文档
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再根据定积分的性质, 当n?N时有
?bafn(x)dx??f(x)dx?ab?ba(fn(x)?f(x))dx??fn(x)?f(x)dx??(b?a)
ab这就证明了等式(3).
注1：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序； 注2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如下面的： 例1 设函数
1?2n?x,0?x?n?2n?11? fn(x)??2?n?2n?nx,?x?，n?1,2,?.
2nn??0,1?x?1?n? 显然?fn(x)?是[0,1]上连续函数列, 且对任意x?[0,1], limfn(x)?0. 又supfn(x)?0??n,因
n??x?[0,1]此
?fn(x)?在[0,1]上一致收敛于0的充要条件是?n?0(n??).
由于
?10fn(x)dx??n2n, 因此?fn(x)dx??f(x)dx?0的充要条件是lim0011?n2nn???0. 这样当
?n?1时, 虽然?fn(x)?不一致收敛于f(x), 但定理13.10的结论仍成立. 但当?n?n时, ?fn(x)?不
一致收敛于f(x), 且
?1011fn(x)dx?也不收敛于?f(x)dx?0.
02定理13.11（可微性）设?fn(x)?为定义在[a,b]上的函数列，若x0?[a,b]为?fn(x)?的收敛点，
?fn(x)?的每一项在[a,b]上有连续的导数，且?fn?(x)?在[a,b]上一致收敛，则
dd(limfn(x))?limfn(x). (4) n??n??dxdx证明: 设fn(x0)?A(n??), fn??g(n??), x?[a,b]. 我们要证明函数列?fn(x)?在
[a,b]上收敛，且其极限函数的导数存在且等于g.
由定理条件, 对任一x?[a,b], 总有 fn(x)?fn(x0)??xx0fn?(t)dt.
当n??时, 右边第一项极限为A, 第二项极限为
?xx0g(t)dt, 所以左边极限存在, 记为f, 则有
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f(x)?limfn(x)?f(x0)?n???xx0g(t)dt,
其中f(x0)?A. 由g的连续性及微积分学基本定理推得 f??g. 这就证明了等式(4). 注1：在该定理的条件下可以证明?fn(x)?在区间[a,b]上一致收敛；
注2：该定理指出：在一致收敛的条件下，求导运算与极限运算可以交换顺序；
注3：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如： 例2 设函数列
1nxln(1?n2x2)，n?1,2,?. fn?(x)?,n?1,2,? 2n1?n2x21在[0,1]上都收敛于0, 由于 limmaxfn?(x)?f?(x)?, 所以导函数列{fn?(x)}在[0,1]上不一
n??x?[0,1]2 f(x)?致收敛,
但有 limfn?(x)?0?[limfn(x)]?.
n??n?? 现在讨论定义在区间[a,b]上函数项级数
u1(x)?u2(x)???un(x)?? (5)
的连续性，逐项求积与逐项求导的性质，它们都可由函数列的相应性质推出. 定理13.12（连续性）若函数项级数
?un?1?n(x)在区间[a,b]上一致收敛，且每一项un(x)都连续，则其
和函数也在区间[a,b]上连续。
注：在一致收敛的条件下，求和运算与求极限运算可以交换顺序，即
?(limun?1x?x0?n(x))?lim(?un(x))。
x?x0n?1?定理13.13（逐项求积）若函数项级数
?un?1?n(x)在区间[a,b]上一致收敛，且每一项un(x)都连续，则
?ba(?un(x))dx?n?1???un?1a?bn(x)dx.
注：即在一致收敛的条件下，求（无限项）和运算与积分运算可以交换顺序. 精品文档