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2．求等差数列的通项公式
求等差数列的通项公式的两种思路：（1）设出基本量a1，d，利用条件构建方程组，求出
a1，d，即可写出等差数列?an?的通项公式；（2）已知等差数列中的两项
?an?a1?(n?1)d*?an,am(n,m?N,n?m)时，则?a?a?(m?1)d?m1而直接写出等差数列?an?的通项公式．
am?an?d??，可不必求a1m?n???an?am?(n?m)d【例2】（1）在等差数列?an?中，若a1+a6?9，a4?7，求an； （2）在等差数列?an?中，若a3?a8?a13?24，a3a8a13?312，求an；
（3）已知单调递减的等差数列?an?的前三项之和为12，前三项之积为48，求an．
?2a1?5d?9a?9a?7a【解析】（1）因为?n?是等差数列，所以由a1+6，4可得?， 解得a?3d?7?1?a1??8， ??d?5所以an??8?(n?1)?5?5n?13． （2）方法一 设?an?的首项为a1，公差为d，则由a3?a8?a13?24，可得a1?7d?8，即（8?5d)?8?（8?5d)?312，解得d??1， a1?8?7d，由a3a8a13?312整理可得当d?1时，a1?1，an?n；当d??1时，a1?15，an?16?n． 方法二 同方法一可得a8?8，所以a3a8a13?(a8?5d)a8(a8?5d)?312，解得d??1， 当d?1时，an?a8?(n?8)d?n；当d??1时，an?a8?(n?8)d?16?n． 方法三 同方法一可得a8?8，所以a3?a13?16，a3a13?39，所以a3,a13是方程?a3=3?a3=13a?a3?1，或?．由a3=3，a13=13得d?13x?16x?39?0的两根，易得?13?3a=3a=13?13?132所以an?n；由a3=13，a13=3得d?a13?a3??1，所以an?16?n． 13?3www.ks5u.com 版权所有@高考资源网
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（3）方法一 根据题意可设等差数列?an?的前三项为a1,a1?d,a1?2d，根据已知条件建立方程组求解即可，此处不再赘述． 方法二 由于数列?an?为等差数列，因此可设前三项分别为a?d,a,a?d，由已知条件可得?3a?12?(a?d)?a?(a?d)?12?a?4?a?4,解得?，即?2或?， ?2(a?d)a(a?d)?48d?2d??2????(a?d)a?48?a?4a因为数列?n?单调递减，所以?，从而an?a?(n?2)d?8?2n. ?d??2【名师点睛】对于等差数列的通项公式，最终结果一般写成关于n的一次函数的形式，不必保留a1?(n?1)d的形式． 3．等差数列性质的应用
由等差数列的定义可得公差为d的等差数列?an?具有如下性质： （1）若ap?q,aq?p，则ap?q?0．
（2）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq(m,n,p,q?N*)． 特别地，①若m?n?2p，则am?an?2ap(m,n,p?N*)；
②若m?n?t?p?q?r，则am?an?at?ap?aq?ar(m,n,p,q,t,r?N*)． ③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和：
a1?an?a2?an?1?L?ai?an?1?i?L.
（3）下标成等差数列的项ak,ak?m,ak?2m,L组成以md为公差的等差数列． （4）数列?tan???(t,?是常数)是公差为td的等差数列．
（5）若数列?bn?为等差数列，则数列?tan??bn?(t,?是常数)仍为等差数列．
（6）等差数列中依次k项之和仍组成等差数列，即数列a1?a2?L?ak,ak?1?ak?2?L?
a2k,a2k?1?a2k?2?L?a3k,L是以k2d为公差的等差数列．
【例3】（1）在等差数列?an?中，若a4?a7?a10?39，则a3?2a5?______； （2）在等差数列?an?中，若a3?a4?a5?a6?a7?85，则a1?a9?______； （3）已知?an?为等差数列，若a10?17,a40?26，则a60?_______；
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【答案】（1）?13 （2）34 （3）32 【解析】（1）方法一 设等差数列?an?的公差为d，则a4?a7?a10?(a1?3d)?(a1?6d)? (a1?9d)?3a1?18d=39a3?2a5?(a1?2，即a1?6d=，1所3以d)6?d??2a ?(．d?4?a)?方法二 由等差数列的性质可得a4?a7?a10?3a7=39，即a7=13， 所以a3?2a5?a3?(a3?a7)??a7??13． （2）由题易知(a3?a7)?a5?(a4?a6)?5a5?85，即a5?17，所以a1?a9?2a5?34． （3）方法一 设出首项a1及公差d，则由题意列方程组即可求解，此处不再赘述． 方法二 因为?an?为等差数列，所以a10,a20,a30,a40,a50,a60也成等差数列， 设其公差为d'，a10为第一项，则a40为第四项， 所以a40?a10?3d'，即26?17?3d'，解得d'?3， 所以a60?a40?2d'?32． 【名师点睛】一般地，运用等差数列的性质解题可以起到化繁为简、优化解题过程的作用，但解题时要注意性质运用的限制条件，明确各性质的结构特征是正确解题的前提． 4．利用一次函数的性质解等差数列问题
等差数列的图象是同一条直线上的一系列孤立的点，因此涉及等差数列中的项、过两点的直线斜率及数列的单调性的问题，利用多点共线可快速求解．
a)【例4】等差数列?an?中，a6?19,a19?6,则过点M(2,a2),N(18,18的直线斜率为
______． 【答案】?1 【解析】由数列?an?是等差数列，可知an是关于n的“一次函数”， 其图象是一条直线上的等间隔的点(n,an)，因此过点M,N的直线斜率即过点(6,19),(19,6)的直线的斜率， 所以直线MN的斜率k???19??1． 19?6【名师点睛】类似上述例题，我们可以利用一次函数的性质证明：若ap?q,aq?p，则www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 15 -
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ap?q?0． 证明过程如下： 易知点(n,an)在同一条直线上，不妨设p?q，设A(p,q),B(q,p)，则直线AB的斜率k?p?q??1．如右图所示，易知OC=p+q，即点C的坐标为(p?q,0)，故q?pap?q?0． 5．由递推关系构造等差数列求通项公式
由题设中的递推关系式构造等差数列的常见形式如下：
（1）转化为(an?2?an?1)?(an?1?an)?常数，则?an?1?an?是等差数列； （2）转化为
111??常数，则{}（c可以为0）是等差数列；
an?1?can?can?c（3）转化为an?1?an?常数，则{an}是等差数列；
222（4）转化为an?1?an?常数，则{an}是等差数列．
【例5】（1）已知?an?满足：a1?2，an?1?2an?11}是等差数列并求an； ，求证{anan?1n?1（2）已知数列?an?满足：a1?2，an?1?2an?2，求数列?an?的通项公式an．
1【解析】（1）由an?1?1?a11?n??111??1， 2an?1a?1a?1，得nn?1an?1?1an?1an由等差数列的定义可得数列{111}是等差数列，且??(n?1)?1?n，故an?1an?12?1an=n?1． nnan?1anan?1an??1??1， ，即2n?12n2n?12naana1?n，故}=11由等差数列的定义可知数列{n是以为首项，为公差的等差数列，所以2n2n2（2）由an?1?2an?2，两边同时除以2n?1，得an?n?2n． 【名师点睛】当已知数列不是等差数列时，则需构造与之相关的等差数列，利用等差数列的www.ks5u.com 版权所有@高考资源网
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