发布时间 : 星期六 文章2013~2014沂源一中高二上学期期末试题答案更新完毕开始阅读
高二数学试题（理）答案
一．选择题1D,2D,3C,4A,5B,6B,7B,8A,9C,10A,11B,12C 二、填空题：13.2； 14.8，6；15.
55；16. . 22三、解答题： 17．（本小题满分12分）已知函数f(x)?cos4x?2sinxcosx?sin4x （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及最大值
（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间
解：（Ⅰ）f(x)?cos4x?2sinxcosx?sin4x
?(cos2x?sin2x)(cos2x?sin2x)?sin2x………………2分 ?cos2x?sin2x ??2sin(2x??4?f(x)的最小正周期T?2???，其最大值为2…………………8分
2??3?（Ⅱ）其单调增区间为2k???2x??2k??…………………10分
2423?7??x?k?? 即k?? 88即?k??)……………………………………………4分
??3?7??为所求………………………………………12分 ,k??88??218．（本小题满分12分）给定两个命题, P：对任意实数x都有ax?ax?1?0恒
成立；Q：函数f(x)?x?x?a?0有零点。如果P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，求实数a的取值范围．
2解： 对任意实数x都有ax?ax?1?0恒成立
2?a?0?0?a?4；…………………………………………2分 ?a?0或????0
1
函数f(x)?x2?x?a?0有零点?1?4a?0?a?1；…………………4分 4P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，即P真Q假，或P假Q真，……………………6分
1?∴实数a的取值范围为???,0????,4?． ……………………………………………12分 ?4?19.（本小题满分12分）设计一幅宣传画，要求画面面积为4000cm，画面的上下各留8cm空白，左右各留5cm空白，怎样设计画面的高与宽，才能使宣传画所用纸张的面积最小，最小面积是多少？
解：设画面的高为x时，宣传画所用纸张面积为y.
2
4000……………………………………………………2分 x4000?10)……………………………………………4分 且有y?(x?16)?(x64000?16 0 ?4000?10x?x此时，画面的宽为 ?10(x?当且仅当x?64006400)?4160?10?2x??416?50760…………8分 xx6400即x?80时等号成立。………………………………10分 x所以设计画面的高为80cm，宽为50cm的宣传画所用纸张面积最小，最小面积是5760cm………………………………………………………………………12分.
20． (本题满分12分)如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，?ABD和?BCD均为等边三角形，AB?2,AC?6．
(Ⅰ)求证：AO?平面BCD； （Ⅱ）求二面角A?BC?D的余弦值； （Ⅲ）求三棱锥O?ACD的体积．
2
2
20. (Ⅰ)证明：?ABD为等边三角形，O是BD的中点， ∴AO?BD； …………………………………1分 ∵AB?2,∴AO?3．
连结OC，同理， ?BCD为等边三角形，O是BD的中点，∴CO?3.
在?AOC中，∵AO?CO?AC，
0 ∴?AOC?90，即AO?OC．…………3分
222A D O B C
∵BD?OC?O ，∴AO?平面BCD．……………………………4分 （Ⅱ）解法一：过O作OE?BC于E连结AE， ∵AO?平面BCD，
∴AE在平面BCD上的射影为OE，∴AE?BC ∴?AEO为二面角A?BC?D的平面角。 ……6分 在Rt?AEO中，AO?3,OE?3, 2 tan?AEO?AO5?2,cos?AEO?. OE5 ?二面角A?BC?D的余弦值为
5………………………………………9分 5 解法二： 以O为原点，如图建立空间直角坐标 系，则O?0,0,0?,A0,0,3,B?1,0,0?,C0,3,0,
????A z D??1,0,0?;∵AO?平面BCD，
∴平面BCD的法向量OA?0,0,3………5分 设平面ABC的法向量n??x,y,z?，
B x O E ??D C y AB?1,0,?3,BC??1,3,0
???n?AB?0?x?3z?0 由?，即?,
???-x?3y?0?n?BC?0∴n?
?????3,1,1? ………………………………………………………………7分
3
设n与OA夹角为?，则cos??n?OAn?OA?5 ………………………8分 5 ∴二面角A?BC?D的余弦值为
5．………………………………………9分 5（Ⅲ）解： ∵AO?3，S?OCD? ?VO?ACD?VA?OCD?3 21131S?OCD?AO???3?………………………11分 33221． ………………………………………12分 2 ?三棱锥O?ACD的体积为
21.（本题满分13分）已知数列{an}满足an?2an?1?2n?2(n?2),a1?2． （Ⅰ）求a2,a3,a4；
（Ⅱ）是否存在一个实数?，使得数列{若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求数列{an}的前n项和Sn．
解：（Ⅰ）a2?4?4?2?10，a3?20?8?2?30，a4?60?16?2?78，………3分 （Ⅱ）假设存在一个实数?，使得数列{an??}成等差数列，若存在，求出?的值；2nan??an??an?1??}?成等差数列，则＝ 2n2n2n?1
2an?1?2n?2???2an?1?2?2???1?恒为常数， ……………………5分 nn22a1?2a?2a?2?2，22?1?1．所以，当??2时数222 ∴ 2???0即??2，此时列{an??}是首项为2、公差为1的等差数列．…………………………………………7分 n2a?2a?2?(n?1)?n?1， （Ⅲ）由（Ⅱ）得nn?122
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