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高等数学
一、证明题（共 52 小题，）
1、验证x?C1?C2t?t是方程tx???x??t的通解。
213323t?x???1?t32、证明：由参数方程?所确定的函数y?y(x,C)是方程
31?4t3?y??C32?2(1?t)?x3?y?3?3xy??0的通解。
3、证明：(x?C2)?y?C1（C1,C2为任意常数）是方程1?yy???y??0的通解。
222?d2ydy1??y?0??x223?dx3e2sinx是初值问题?dx4、证明：y?的解。
dy32?yx?0?0,x?0?1?dx?5、证明：方程y??ky?kq(x)的通解是y?e?kxx??C?k?q(u)ekudu??，其中 C为任意常数。 ??0322342246、验证：x?2xy?y?C（C为任意常数）是方程(x?xy)dx?(xy?y)dy?0的通解。
?ex?dx?C?是微分方程xy??y?xex的通解。 7、验证：y?x???x??d2x?2?4x?10sin3t?dtxt?0?0的解。 ??dx?t?0??2dt?8、验证x?2(sin2t?sin3t)是初值问题
9、验证x?y?2C1x?2C2y?C3?0（C1,C2,C3为任意常数）是微分方程
22y???[1?(y?)2]?3y?(y??)2?0的解，并指出是否是通解。
?dy31?t21?2ty?t?10、验证y?e的解。 ?是初值问题?dt22??yt?1?211、验证x?y?C（C为任意常数）是方程y???x222x的通解。 y212、验证y?e?x0etdt?Cex（C为任意常数）是方程y??y?ex?x的通解。
22x?dx105???13、验证x??是初始值问题?dt100?t的解。 2(100?t)??xt?0??1014、验证方程y???y?0的通解是一族曲线y?C1cosx?C2sinx(C1,C1为任意常数）。 15、验证
?y1e1?t22dt?x?C?0(C为任意常数）所确定的函数是方程y??e12y2?0的通解。
d2y2?my?0的解。 16、验证y?Acosmx?Bsinmx(A,B为常数）是方程2dx1?x2217、验证y?e?dy?dx?xy是初值问题?1?yx??2?e?(x?0)的解。
18、验证
x?lny?C是方程ydx?(y?x)dy?0的通解，并确定积分常数 C，使积分曲线经过点 y(0,e2)。
19、验证x?3xy?y?C是方程(3x?6xy)dx?(6xy?4y)dy?0的通解。
32242223??x2x2xn?1????????20、设y?lim??(1?x)??1?x???试证明 y是初始值问题 n??2!3!(n?1)!?????dy?x?y?的解。 ?dx??yx?0?02
dyyC21?y???1???在(0,??)上的解；而当C?0时，21、验证：当C?0时，曲线族y?x?为方程
?x?dxx22C该曲线族是上述方程在(??,0)上的解。
22、证明：若u1(x,y)?0和u2(x,y)?0是全微分方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0的两个解，则它们只差一个常数。
23、设y1(x),y2(x)是方程y??p(x)y?q(x)的两个互异的解，求证：对于该方程中的任何一个解y(x)，恒等
式
y(x)?y1(x)?C永远成立，其中 C为常数。
y2(x)?y1(x)24、证明：y?z(x)e?x0a(t)dtx为方程y??a(x)y?b(x)的解的充分必要条件是，z(x)可微且满足方程
z??b(x)ex??xa(t)dt0。
??q(x)dxy1(x)25、设y1(x),y2(x)是方程y??p(x)y?q(x)的两个解，且y2?y1z，试证明：z?1?Ce26、验证：U?Cekt。
?20?0(k为常数）是方程
dU?k(U?20)的解。 dt27、试导出方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有形如u(x,y)的积分因子的充要条件。 28、试导出方程M(x,y)?N(x,y)dy?0有f(x2?y2)形式的积分因子的条件，并求解：dxax2?y2?Cx?(bx2?y2?Cy)y??0
12x329、验证y?5y?3x?C?0（1）是微分方程y?? （2）的解。 23y?534dy?dy?30、证明：y?2Cx?C是微分方程y??2x?y?0（1）的解。 ??dx?dx222sinx2是微分方程y???y??y?0（1）的解。 xxsinx32、验证y?是微分方程xy??y?cosx （1）的解。
x31、证明：y1?33、试验证y?1?cos4x是微分方程y???16y?16的一条过点(0,2)且在该点切线平行 x轴的积分曲线。 34、试验证y?e?xsinx是微分方程y???2y??2y?0的一条在原点处与直线 y?x相切的积分曲线。
35、试验证y?sh2x?11是微分方程y???2y??1的一条过点(0,)，且在该点处的切线与直线22y?1(1?2x)垂直的积分曲线。 236、如果上半平面的一条向上凸曲线上任一点处的曲率半径等于该点处法线在曲线与 x轴间的长度，试证此曲线是半圆周。
37、证明函数组：1,sint,cost,e在任何区间[a,b]上线性相关。 38、验证：1,sint,cost在任何区间上线性相关。
2222t39、设x(t)和y(t)是区间[a,b]上的连续函数，证明如果在区间 [a,b]上有
x(t)?常数，则 x(t)和 y(t)y(t)在 [a,b]上线性无关。
40、证明：函数1,t,t,???,t2n?1在任何区间[a,b]上线性无关。
41、已知x1(t),x2(t)是微分方程x???a1(t)x??a2(t)x?0的两个解，试证明：x?C1x1(t)?C2x2(t)(C1,C2为任意常数）也是方程的解。
42、设x1(t),x2(t)分别为非齐次方程x???p(t)x??q(t)x?f(t)(1)的两个特解，证明：
x(t)?x1(t)?x2(t)是方程(1)对应的齐次方程：x???p(t)x??q(t)x?0t?t43、验证：e,e是微分方程x???22(2)的解。
1x??4t2x?0的两个线性无关特解，并求此方程的通解。 t44、设x1(t)是非齐次线性方程
x??(t)?a1(t)x?(t)?a2(t)x(t)?f1(t)(1)
的解。x2(t)是方程
x??(t)?a1(t)x?(t)?a2(t)x(t)?f2(t)(2)
的解。试证明
x?x1(t)?x2(t)
是方程
x??(t)?a1(t)x?(t)?a2(t)x(t)?f1(t)?f2(t)(3)
的解。
45、验证函数组：1,e,e,e在任何区间上线性无关。
46、设x1(t),x2(t)在[a,b]上线性无关，证明：y1?x1(t)?x2(t),y2?x1(t)?x2(t)在 [a,b]也是线性无关。 47、证明：e,te,te在任何区间上线性无关。
tt2tt2t3t?(t?1)248、设x1(t)???00?t?11?t?2，
?0x2(t)??2(t?1)?0?t?1
1?t?2