发布时间 : 星期六 文章2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题05 - 平面向量更新完毕开始阅读
专题5 平面向量
【典型例题】
例1（填空题）
（1）给出下列命题：
① 0a=0；
② 对于实数m和向量a,b（m∈R），若ma?mb，则a?b； ③ 若a?0，a?b?a?c，则a?c；
④ (a?b)c?a(b?c)对任意a,b,c向量都成立； ⑤对任意向量a，有a?a2．
其中不正确的序号是 ．
解析：①不正确．0a=0，是零向量，而02a=0，是数量0；
②不正确．当m=0时，ma,mb都等于0，这时ma?mb，向量a,b不一定相等； ③不正确．∵a?b?a?c，∴a2（b?c）=0，又∵a?0，∴b?c=0或b?c与a垂直； ④不正确．∵(a?b)c表示一个与a共线的向量，a(b?c)表示一个与a共线的向量， a与c不一定共线，∴(a?b)c与a(b?c)不一定相等；
⑤正确．∵a2=a2a=a，∴a?a2．
综上所述，不正确命题的序号是①②③④．
点评：向量及其运算与数及其运算可以类比，但并不是所有的实数运算法则都可以推广到向量．
（2）设a与b是两个不共线的向量，且向量a??b与?(b?2a)共线，则?的值为 ． 解析：因为a??b与?(b?2a)共线，则有a??b?m[?(b?2a)]，即1?2m,???m,
1所以???．
2（3）平面向量a与b的夹角为600，a?(2,0),|b|?1，则|a?2b|? ． 解析：cos?a,b??21，|a|?2，|b|?1，(a?2b)2?a2?4ab?4b2 2D
E C 1?4?4?2?1??4?12，|a?2b|?23．
2（4）如图，正方形ABCD内有一个正△ABE，
设
AB?i,AD?j，则DE等于 ． （用i、j表示）
解析：因为DE?DA?AE，
1312?3DE??j,AE?i?j，故DE?i?j．
2222A
（5）如图，设P、Q为△ABC内的两点，且
2121AP?AB?AC， AQ＝AB＋AC，则△ABP的
3455△ABQ的面积之比为 ．
21解析：如下图，设AM?AB，AN?AC，则
55
5－1
B
C Q P M
B
面积与
N A
AP?AM?AN，由平行四边形法则，知NP∥AB，
所以
S?ABQ1S?ABPAN1?， ＝，同理可得?S4S?ABC5AC?ABC 故
S?ABP4?． S?ABQ5（6）如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA?PB)?PC的最小值为 ．
解析：(PA?PB)?PC?2PO?PC??2PO?PC，
CPAO939设PC?x,则?2PO?PC??2x(3?x)?2(x?)2???．
222B（7）设函数f(x)?x?2x?x，A0为坐标原点，An为函数y?f(x)图像上横坐标n (n?N)的点，向量an??Ak?1Ak,i?(1,0)，设?n为an与i的夹角，则?tan?k? ．
?k?1k?1nn解析：an?A0An?(n,n?2n?n)，?n即为向量A0An与x轴的夹角，所以tan?n?2n?1，所以
?tan?k?1nk?(2?22?????2n?n)?2n?1?n?2．
11（8）已知a?2b?0，且关于x的函数f(x)?x3?ax2?(a?b)x在R上有极值，
32则a与b的夹角范围为 ．
解析：y?f(x)在R上有极值?方程f?(x)?x2?|a|x?a?b＝0在R上有两个不同的实数根，则
1|a|2a?b1?|a|，设向量a,b的夹角为?，则cos???4?，所以??(,?]． ??|a|2?4a?b?0?a?b?|a||b|1|a|223422（9）如图，在?ABC中，?BAC?120?,AB?2,AC?1,D是边BC上一点，DC?2BD, 则AD?BC?__________．
A
B
D
C
1解析：AD?BC?(AB?BD)?BC?(AB?BC)?BC
3121=[AB?(AC?AB)]?BC?(AB?AC)?(AC?AB)
333222118??AB?AC?AB?AC??．
3333点评：本题用定义也能求解，但较繁，由BC2?AB2?AC2?2?AB?ACcosA?7，可得BC?7，则AB2?BC2?AC2513cosB??，在?ABD中可得AD?，又AD,BC夹角大小为?ADB，
32?BC?AC27
5－2
BD2?AD2?AB28cos?ADB???，
2?BD?AD91所以AD?BC?AD?BC?cos?ADB??；还可以建立坐标用坐标法求解．
向量数量积的定义、向量的拆分、向量的坐标化是处理平面图形中向量数量积问题的常用方法． （10）定义f(M)?(m,n,p)，其中M是△ABC内一点，m、n、p分别是△MBC、△MCA、△MAB83141的面积，已知△ABC中，AB?AC?23，?BAC?30?， f(N)?(,x,y)，则?的最小值
2xy是 ．
解析：由AB?AC?23?AB?AC?则S?3?23?AB?AC?4， 2111AB?AC?sin300?1，从而x?y?1??(x?0,y?0)， 222所以
14142y8x2y8x??(?)(2x?2y)?10???10?2??18， xyxyxyxy11当且仅当x?,y?时取等号．
63例2已知a??cos?，sin??，b??cos?，sin??，其中0??????． （1）求证：a＋b与a－b互相垂直；
（2）若ka?b与ka?b（k?0）的长度相等，求???．
解：（1）因为(a?b)(a?b)?a2?b2?|a|2?|b|2?cos2??sin2??cos2??sin2? ?1?1?0， 所以a＋b与a－b互相垂直．
（2）∵|ka?b|＝|ka?b|，∴|ka?b|2＝|ka?b|2，展开可得a?b＝0． ∵k?0，∴c， os???0???又∵0??????，0??????，∴?????2．
例3已知向量AB?(2?k,?1),AC?(1,k)． (1)若△ABC为直角三角形，求k值； (2)若△ABC为等腰直角三角形，求k值．
解：(1)AB?(2?k,?1),AC?(1,k)?BC?AC?AB?(k?1,k?1)， 若?A?900，则AB?AC?k?1；
若?B?900，则AB?BC?k2?2k?3?0无解；
若?C?900，则AC?BC?k2?2k?1?0?k??1?2， 综上所述，当k?1时，△ABC是以A为直角顶点的直角三角形； 当k??1?2时，△ABC是以C为直角顶点的直角三角形．
5－3
(2)当k=1时，AB?(1,?1),AC?(1,1)?|AB|?|AC|?2；
当k??1?2时，AC?(1,?1?2),BC?(?2?2,?2)?AC?4?22,BC?8?42 22?AC?BC；
当k??1?2时，AC?(1,?1?2),BC?(?2?2,?2)?AC?4?22,BC?8?42 22?AC?BC．
综上所述，当k=1时，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形．
例4已知向量OA?(λcosα,λsinα)(λ?0)，OB?(?sinβ,cosβ)，其中O为坐标原点． （1）若β?α?π，求向量OA与OB的夹角； 6（2）若|AB|≥2|OB|对任意实数α,β都成立，求实数λ的取值范围． 解：（1）设向量OA与OB的夹角为?，则cos??OA?OB?sin(???)?， ??|?|2|?||OA?|OB|当??0时，cos???2?11，??；当??0时，cos???，??．
3322?3；当??0时，向量OA与OB的夹角为
故当??0时，向量OA与OB的夹角为
2?． 3（2）|AB|?2|OB|对任意的?,?恒成立，
即(?cos??sin?)2?(?sin??cos?)2?4对任意的?,?恒成立， 即?2?1?2?sin(???)?4对任意的?,?恒成立，
???0???0所以?2或?2，解得??3或???3．
???2??1?4???2??1?4故所求实数?的取值范围是(??,?3]∪[3,??)． 另解：由|AB|?|OB?OA|?||OB?||OA?||?||?|，1可得为||?|?1|，然后将已知条件转化为||?|?1|?2，由此解得实围．
AB?2,BC?3,CA?3,PQ是以A例5 如图?ABC中，
ABQC|AB|的最小值
数?的取值范
为圆心，以1为BP?CQ有最大
P半径的圆的一条直径．问：BC与PQ的夹角?为何值时，值和最小值．
解：∵
5－4