发布时间 : 星期六 文章高中数学回归课本（三角函数）更新完毕开始阅读
回归课本(五)三角函数
一．考试内容：
角的概念的推广.弧度制.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线. 同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.
两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切. 正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.
函数y?sin(?x??)的图像.正切函数的图像和性质. 已知三角函数值求角.
正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.
二．考试要求：
(1)理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.
(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.掌握同角三角函数的基本关系式.掌握正弦、余弦的诱导公式.了解周期函数与最小正周期的意义.
(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
(4)能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明. (5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(鵻+)的简图，理解A, ,的物理意义. (6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x、arccos x、arctanx表示. (7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角 【注意】近年的高考题中，三角函数主要考查基础知识、基本技能、基本方 法，一般都在选择题与填空题中考查，多为容易或中等难度的题目.其中，同角三角函数的 基本公式和诱导公式，三角函数的图像和性质，求三角函数式的值等为考查热点.
三．基础知识:
1．常见三角不等式 （1）若x?(0,?2)，则sinx?x?tanx.
(2) 若x?(0,?2)，则1?sinx?cosx?2. (3) |sinx|?|cosx|?1.
2.同角三角函数的基本关系式
sin2??cos2??1，tan?=
sin?cos?，tan??cot??1. 3.正弦、余弦的诱导公式
nsin(n??(n为偶数) 2??)???(?1)2sin?, ?n?1 ?(?1)2cos?,(n为奇数)
n(n为偶数) 2 cos(n??2??)???(?1)co?s, (n为奇数) ?n?1?(?1)2si?n,4.和角与差角公式
sin(???)?sin?cos??cos?sin?;
cos(???)?cos?cos?sin?sin?;
tan(???)?tan??tan?1tan?tan?.
sin(???)sin(???)?sin2??sin2?(平方正弦公式);
cos(???)cos(???)?cos2??sin2?.
asin??bcos?=a2?b2sin(???)(辅助角?所在象限由点(a,b)的
象限决定,tan??ba ).
5.二倍角公式
sin2??sin?cos?.
cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?.
tan2??2tan?1?tan2?. 6. 三倍角公式
sin3??3sin??4sin3??4sin?sin(???)sin(?33??).
cos3??4cos3??3cos??4cos?cos(??3??)cos(3??).
tan3??3tan??tan3?1?3tan2??tan?tan(?3??)tan(?3??). 7.三角函数的周期公式 函数y?sin(?x??)，x∈R及函数y?cos(?x??)，x∈R(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T?2??；函数y?tan?(x??，)x?k???2,k?Z(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T???.
性质 y=sinx y=cosx y=tanx 图像的来源 及图像 定义域 值域 单调性及 递增递减区间 周期性及 奇偶性 对称轴 对称中心 最值及指定 区间的最值 简单三角方 程和不等式 8.正弦定理
asinA?bsinB?csinC?2R. 9.余弦定理
a2?b2?c2?2bccosA;
b2?c2?a2?2cacosB; c2?a2?b2?2abcosC.
10.面积定理
（1）
S?12ah?12bh1ab?2chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）. （2）S?12absinC?12bcsinA?12casinB.
(3)S1?OAB?2(|OA|?|OB|)2?(OA?OB)2. 11.三角形内角和定理
在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)
?C2??2?A?B2?2C?2??2(A?B). 四．基本方法和数学思想
1.三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦； 2.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括； 3.记住同角三角函数的基本关系，熟练掌握三角函数的定义、图像、性质； 4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于1800，一般用正余弦定理实施边角互化；
?5.正弦型函数y?Asin(?x??)的对称轴为k??x?2???(k?Z)；对称中心为(k????,0)(k?Z)；类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心； 6.（1）正弦平方差公式：sin2A－sin2B=sin(A+B)sin(A－B);（2）三角形的内切圆半径r=2Sabc?ABC；（3）三角形的外接圆直径2R=
a?b?csinA?sinB?sinC; 五．高考题回顾
1.（天津卷）函数
y?Asin(?x??)(??0,???2,x?R)的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）
（A）y??4sin(?8x??4) （B）y?4sin(??????8x?4)（C）y??4sin(8x?4) （D）y?4sin(8x?4)
2. （江西卷）设函数f(x)?sin3x?|sin3x|,则f(x)为
A．周期函数，最小正周期为2?3 B．周期函数，最小正周期为?3
C．周期函数，数小正周期为2? D．非周期函数
3.（04年天津卷.理9）函数y?2sin(?6?2x)(x?[0,?])为增函数的区间是
A. [0,
?3] B. [?12,7?12] C. [?3,5?6] D. [5?6,?] 4. （山东卷）已知函数y?sin(x??12)cos(x??12)，则下列判断正确的是 （A）此函数的最小正周期为2?，其图象的一个对称中心是(?12,0)
（B）此函数的最小正周期为?，其图象的一个对称中心是(?12,0)
（C）此函数的最小正周期为2?，其图象的一个对称中心是(?
6,0)
（D）此函数的最小正周期为?，其图象的一个对称中心是(?6,0)
5. (天津卷）要得到函数y?2cosx的图象，只需将函数
y?2sin(2x??4)的图象上所有的点的
(A)横坐标缩短到原来的
12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动?8个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的1?2倍（纵坐标不变），再向右平行移动4个单位长度
(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动
?4个单位长度 (D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动?8个单位长度
6. .（江西卷）在△OAB中，O为坐标原点，A(1,cos?),B(sin?,1),??(0,?2]，
则当△OAB的面积达最大值时，??A．
?6B．???4C．3 D．2 7.（全国卷Ⅰ）当0?x??1?cos2x?8sin2x2时，函数f(x)?sin2x的最小值
为 （A）2 （B）23 （C）4 （D）43
8. 锐角三角形的内角A 、B 满足tan A - 1sin2A = tan B,则有 （A）sin 2A
–cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0(C)sin 2A – sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 0 9. 设0?x?2?,且1?sin2x?sinx?cosx,则
(A) 0?x?? (B) ?4?x?7??4 (C) 4?x?5??4 (D) 2?x?3?2 10. 若sin??cos??tan?(0????2),则??
A．(0,?)B．(?,?)C．(?,?)D．(?,?6644332) 11. (湖南卷）设函数f (x)的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝sinnx在[0，?]上的面积为2（n∈N*
）（，i）y＝sin3x在[0,2?nn3]上的面积为 ；（ii）y＝sin（3x－π）＋1在[?4?3，3]上的面积为
六.课本中习题归纳
一、任意角的三角函数
1 已知?是锐角,则2?是 ( )
A,第一象限角 B, 第二象限角 C,小于1800的正角 D,不大于直角的正角 2 已知?是钝角,则
?2是 ( ) A, 第四象限角 B, 第二象限角 C, 第一、三象限角 D, 锐角 3 已知?是第二象限角, 则
?2是 ( ) A, 第一象限角 B, 第一、三象限角 C, 第二、四象限角 D, 锐角
4 设f(x)为偶函数,且x?(0,1)时,f(x)??x?2,则列说法正确的是 A,f(0.5)?f(300) B,f(sin0.5)?f(sin300) C,f(sin1)?f(cos1) D,f(sin2)?f(cos2)
5 角?为第一或第二象限角的充要条件是 ( )
A,sin??0 B,|sin?|?sin? C,cos?tan??0 D,?为锐角或钝角
6 已知sin?=4?5,则 cos? ,tan?? ,cot?? ,sec?? , 7 已知cos???817,则sin?= ,tan?? . 8 已知tan???3,则sin?= , cos?? , cot?? , 9 下列等式不正确的是 ( )
A,
cos?1?sin??1?sin?cos? B,sin4??sin2?cos2??cos2??1
C,tan2??sin2??tan2?sin2? D,
1?sin??cos??1?cos??sin??tan2 10 已知tan??2，则sin??cos?sin??cos? 。
11 化简（1）1?sin?1?sin?1?sin1?sin??1?sin?? ，（2）?1?cos?? 。
12 化简:
sin(2???)cos(???)cos(1800??)sin(3???)sin(????=
2)二、两角和与差的正弦、余弦、正切。二倍角的正弦、余弦、正切。
1 已知si?n?23，??(?33?2,?)，cos???4，??(?,2)，则sin?(??? )。cos(???)? ，tan(???)? 。 2已知一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0,a?c),的两个根为tan?,tan?,则tan(???)? . 3 当x?[o,?2],函数f(x)?cosx?3sinx的值域是 . 4已知当x?[??2,?2]时, 函数f(x)?cosx?asinx的最小值为0,则a的取值范围是 .
5下列说法不正确的是 ( ) A, sin(???)sin(???)?sin2??sin2?
tan(x?y)?tan2B,tan(x?y)x?tan2y1?tan2xtan2y
C,cos(???)cos(???)?cos2??sin2?
D,sin(???)cos(???)?sin?cos??sin?cos?
6.(1)tan150? , (2)tan200?tan400?3tan200tan400? . 7 已知
cos(???)??45,cos(???)?4?3?5,????(2,?),????(2,2?),
则cos2?? ,cos2?? ,tan2?? .
8 已知锐角?,?满足co?s?1117,cos(???)??14,则
cos?? . 9 已知sin??sin???13,cos??cos??12,则cos(???)? . 10 已知sin??513,??(?2,?),则sin2?? ，cos2?? ，tan2?? 。
11 “A?B??4”是“(1?tanA)(1?tanB)?2”的 条件。
12 已知tan???13，则2sin?cos??cos2?? 。 13 已知sin(???)?21tan?3，sin(???)?5，则
tan?? 。 三、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
1（1）函数y?cosx的最小正周期是 。（2）函数y?sin2x的最小正周期是 ，（3）函数y?cos3x的最小正周期是 。 2 当x? 时，函数y?cosx?1有最大值 。
3 （1）函数y?3sinx4的周期是 ，（2）函数y?tan2x的周期是 。 4 函数y??cosx的单调递减区间是 ，函数y?2sinx的单调递增区
间是 。 5 函数y?cos(x??2)，x?R， （ ）
A，是偶函数 B，是奇函数
C，不是奇函数也不是偶函数 D，有无奇偶性不能确定 6 （1）不等式sinx?32的解集是 ，（2）不等式2?2cos2x?0的解集是 。 （3）不等式1?tanx3?0的解集是 ，（4）不等式tanx?3的解集是 。
7（1）若x满足sinx?22，则x? ， （2）若锐角?满足tan??2，则?? 。
lgcos(2x??8 函数y?3)tanx?1的定义域是 。 9 将函数y?3sin(x??5)的图象经过怎样的（或平移或伸缩或对称）变换，
可得到下列函数的图象？
（1）y?sinx （2）y?cosx （3）y?3sin(x??5)
（4）y?3sin(2x???5) （5）y?4sin(x?5)
10 已知函数f(x)?sin2x?2sinxcosx?3cos2x，x?R （1）求函数f(x)的最小正周期； （2）求函数f(x)的单调区间及最值；
（3）函数f(x)的图象可由函数y?2sin2x，x?R的图象经过怎样的变换得到？