发布时间 : 星期日 文章第5讲 函数y=Asin（ωx+φ）的图象及三角函数模型的简单应用更新完毕开始阅读
5ππ
－＋kπ，＋kπ?(k∈Z) 答案：2 ?12?12?
9．如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0，4]的部分图象，且图象的最高点为S(3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．
解：连接MP(图略)． T
依题意，有A＝23，＝3，
4
2πππ又T＝，所以ω＝，所以y＝23sinx.
ω66当x＝4时，y＝23sin2π
＝3， 3
所以M(4，3)．又P(8，0)， 所以|MP|＝
（－4）2＋32＝5.
即M，P两点相距5 km.
π
10．(2020·合肥市第一次质量检测)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得6到函数g(x)的图象，设函数h(x)＝f(x)－g(x)．
(1)求函数h(x)的单调递增区间； π1
α＋?＝，求h(α)的值． (2)若g??6?3π
2x＋?， 解：(1)由已知可得g(x)＝sin?3??ππ
2x＋?＝sin?2x－?. 则h(x)＝sin 2x－sin?3?3???
ππππ5π
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
2321212π5π
－＋kπ，＋kπ?，k∈Z. 所以函数h(x)的单调递增区间为?12?12?πππ1
α＋?＝得sin?2?α＋6?＋?＝ (2)由g??3??6?3??2π12α＋?＝， sin?3?3?
π112α－?＝－，即h(α)＝－. 所以sin?3??33
[综合题组练]
1．(综合型)(2020·长沙市统一模拟考试)已知P(1，2)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ωθ3
＞0)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．设∠BPC＝θ，若tan＝，则f(x)
24图象的对称中心可以是( )
A．(0，0) 3?C．??2，0?
B．(1，0) 5?
D．??2，0?
解析：选D．如图，连接BC，设BC的中点为D，E，F为与点P最近的函数f(x)的图象与x轴的交点，即函数f(x)图象的两个对称中心，连接PD，则由题意知|PD|＝4，∠BPDθθ|BD||BD|3
＝∠CPD＝，PD⊥BC，所以tan∠BPD＝tan＝＝＝，所以|BD|＝3.由函数f(x)图象
22|PD|44153135
－，0?，F?，0?，所以函数f(x)图象的的对称性知xE＝1－＝－，xF＝1＋＝，所以E??2??2?22225?
对称中心可以是??2，0?，故选D．
π
2.(2020·湖南衡阳高中毕业联考(二))将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得
6函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的
2
，得到函数g(x)＝Asin(ωx＋3
π
A>0，ω>0，|φ|
2
A．函数f(x)的最小正周期为π，最大值为2
3
π?
B．函数f(x)的最小正周期为π，图象关于点??6，0?中心对称 2π
C．函数f(x)的最小正周期为π，图象关于直线x＝对称
36
ππ?
D．函数f(x)的最小正周期为π，在区间??6，3?上单调递减
2ππ?2π2π
－＝，所以ω＝＝3，则解析：选D．对于g(x)，由题图可知，A＝2，T＝4??918?3T2π?πππ
g(x)＝2sin3x＋φ，又由g?＝2可得φ＝－＋2kπ，k∈Z，而|φ|<，所以φ＝－. ?9?626
()
ππ
3x－?，所以f(x)＝2sin?2x＋?. 所以g(x)＝2sin?6?6???所以f(x)的最小正周期为π，选项A，C错误．
πkππ
对于选项B，令2x＋＝kπ(k∈Z)，所以x＝－，k∈Z，所以函数f(x)图象的对称中
6212kππ?π，π?时，2x＋π∈?π，5π?，所以f(x)－，0?(k∈Z)，所以选项B是错误的；心为?当x∈?212??63?6?26?ππ?
在??6，3?上是减函数，所以选项D正确．故选D．
πππππ
ωx＋?(ω＞0)，f??＝f??，且f(x)在区间?，?上有最小值，无最大3．已知f(x)＝sin?3???6??3??63?值，则ω＝________．
ππ
＋
63π
解析：依题意，当x＝＝时，f(x)有最小值，
24ππππ3π
·ω＋?＝－1，所以ω＋＝2kπ＋(k∈Z)． 所以sin?3??443214
所以ω＝8k＋(k∈Z)，
3
ππ?
因为f(x)在区间??6，3?上有最小值，无最大值， πππ
所以－≤，即ω≤12，
34ω14
令k＝0，得ω＝.
314答案：
3
4．(创新型)如图，将绘有函数f(x)＝3sin(ωx＋
5π
)(ω>0)部分图象的纸片沿x轴折成直6
二面角，若A，B之间的空间距离为10，则f(－1)＝________．
解析：由题设并结合图形可知， AB＝＝
T
（3）2＋[（3）2＋（）2]＝
2π2π2π6＋2＝10，得2＝4，则ω＝， ωω2
T
6＋2
4
π5ππ3
所以f(－1)＝3sin(－＋)＝3sin ＝.
26323
答案： 2
πππ
ωx－?＋sin?ωx－?，其中0<ω<3.已知f??＝0. 5．设函数f(x)＝sin?6?2????6?(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图π3ππ
－，?上的最小值． 象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在??44?4
ππ
ωx－?＋sin?ωx－?， 解：(1)因为f(x)＝sin?6?2???所以f(x)＝＝
31
sin ωx－cos ωx－cos ωx 22
33
sin ωx－cos ωx 22
13
＝3?sin ωx－cos ωx?
2?2?π
ωx－?. ＝3sin?3??
π?ωππ
由题设知f?＝0，所以－＝kπ，k∈Z. ?6?63故ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω＜3， 所以ω＝2.
π
2x－?， (2)由(1)得f(x)＝3sin?3??
πππx＋－?＝3sin?x－?. 所以g(x)＝3sin??43??12?π3ππ2ππ
－，?，所以x－∈?－，?， 因为x∈??44?12?33?ππ
当x－＝－，
123
π3即x＝－时，g(x)取得最小值－. 42
π
A>0，ω>0，|φ|
(1)求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心； π
4x＋?＝a有实数解，求a的取值范围． (2)若方程f(x)＋2cos?3??T2πππ
解：(1)由图可得A＝2，＝－＝，
2362所以T＝π，所以ω＝2. π
当x＝时，f(x)＝2，
6π
2×＋φ?＝2， 可得2sin??6?ππ
因为|φ|<，所以φ＝.
26
π
2x＋?. 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin?6??πkππ
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
6212kππ?所以函数f(x)图象的对称中心为??2－12，0?(k∈Z)． π
4x＋?， (2)设g(x)＝f(x)＋2cos?3??ππ
2x＋?＋2cos?4x＋? 则g(x)＝2sin?6?3???ππ
2x＋?＋2?1－2sin2?2x＋??， ＝2sin?6??6????π
2x＋?，t∈[－1，1]， 令t＝sin?6??19
t－?＋， 记h(t)＝－4t2＋2t＋2＝－4??4?49－4，?， 因为t∈[－1，1]，所以h(t)∈?4??
999
－4，?，故a∈?－4，?.故a的取值范围为?－4，?. 即g(x)∈?4?4?4????
2