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专题011：指数与对数（学生学案）（生）
知识结构：
1．根式
(1)根式的概念
如果一个数的n次方等于a(n＞1且，n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，则x叫做a的n次方n
根，其中n＞1且n∈N*.式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)根式的性质
n
①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号a表示．
n
②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号a表示，负的n次方nn
根用符号－a表示．正负两个n次方根可以合写为±a(a＞0)．
?n
③??na?＝a.
nn④当n为奇数时，a＝a；
?nn?a ?a≥0?
当n为偶数时，a＝ |a|＝?.
?－a ?a＜0??
⑤负数没有偶次方根．
2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念
*
①正整数指数幂：an＝a?a?a??a (n∈N)； ?????n个②零指数幂：a＝1(a≠0)；
1
③负整数指数幂：a－p＝p(a≠0，p∈N*)；
a
n
④正分数指数幂：an＝am(a＞0，m、n∈ N*，且n＞1)；
m
0
11＝(a＞0，m、n∈N*且n＞1)． mna
amn
⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质
①aras＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q) ②(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．分数指数幂与根式的关系
根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． 4．对数的概念 (1)对数的定义
如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)几种常见对数
对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a＞0且a≠1) logaN 常用对数 底数为10 lg N 自然对数 底数为e ln_N 5.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质
N
①alogaN＝N；②logaa＝N(a＞0且a≠1)． (2)对数的重要公式
logN
①换底公式：logbN＝a(a，b均大于零且不等于1)；
logab⑤负分数指数幂：a
－
m
n＝
- 1 -
1
，推广logab·logbc·logcd＝logad. logba
(3)对数的运算法则
如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么
M
①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；
N
n
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④log amMn＝logaM.
m
对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明． ②logab＝
基础自测 1．(2010·四川)2 log510＋log50.25＝( )． A．0 B．1 C．2 D．4 2．若102x?25，则10?x?____．
3．设lg321?a，则lg0.321?_______． 4．已知函数f(x)?lg1?x1?x，若f(a)?b，则f(?a)?_________．
5．方程lg(4x?2)?lg2x?lg3的解是___ _．
116．已知a2?a?2?3，则a＋a－1＝______；a2＋a－2
＝________.
27．求值： 83,100?12,(1)?3164.
4,(81)?3例题选讲：
2例1：计算下列各式：(1)aa?0);a3a2( (2)(325?125)?45
113例2：计算：（1）(124?223)2?276?164?2(8?23)?1；
（2）(lg2)2?lg2?lg50?lg25； （3）(log32?log92)?(log43?log83)．
12例3：已知x2?x?12?3，求
x2?x??233的值．
x2?x?2?3
例4：已知3a?5b?c，且11a?b?2，求c的值．
- 2 -
例5．设a、b、c为正数，且满足a2?b2?c2． （1）求证：log2(1? （2）若log4(1?b?ca)?log2(1?a?cb)?1 23b?ca)?1，log8(a?b?c)?，求a、b、c的值．
巩固作业： A组：
一、 选择题：
1.【2012高考重庆文7】已知a?log23?log23，b?log29?log?1223，c?log32则a,b,c的大小关系是( )
（A） a?b?c （B）a?b?c （C）a?b?c （D）a?b?c 2.【2012高考全国文11】已知x?ln?，y?log52，z?e3.【2012高考安徽文3】（log29）·（ogl（A）
14，则( )
（A）x?y?z （B）z?x?y （C）z?y?x （D）y?z?x
34）=( )
（B）
12 （C）2 （D）4
1.2
4.【2012高考天津文科4】已知a=2，b=
??12-0.2
，c=2log52，则a，b，c的大小关系为( )
（A）c 1 6、(2010·全国)设a＝log32，b＝ln 2，c＝5－，则( )． 2 A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 二、 填空题： 7.【2012高考上海文6】方程4x?2x?1?3?0的解是 8. （2011四川理）计算(lg149.写出下列各式的值：(a?0,a?1) 2?lg25)?100?12= . (3??)?___； 83?___； 812?34?____；loga1?_____； loga?____； loga124?___． 10.化简下列各式：(a?0,b?0) 2（1）4a3b2?13?(??223a?13b2?13)?_______； ?2（2）(a?2?a)?(a?a)?_________． 11.求值：（1）log312(8?4)?___ ____； 335（2）(lg2)?3lg2?lg5?(lg5)?____ ___； （3）log23?log34?log45?log56?log67?log78?_____ ___． 312.（1）方程2x4?1?15的解集为_____ ______； ?256?8的解集为__________； （2）方程4（3）方程lgx?lg(x?3)?1的解集为___ __． - 3 - 3x?21?x三、解答题： 13．用分数指数幂表示下列各式： (1)3x2 （２）4(a?b)3（ａ＋ｂ＞０） （３）3(m?n)2 （４）(m?n)4（ｍ＞ｎ） (5) p6?q5（ｐ＞０） (6) m3 m 14、求下列各式的值： 32(1)252 （2）273 （3）（36324249）（4）（ 25?324） （5）81?93（6）23×31.5×612 15、求值：(1)log891324 log3；(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；(3)2lg 49－3 lg 8＋lg 245. 2 16、 (1)若2a＝5b＝10，求1＋1 的值．(2)若xlog34＝1，求4x＋4－xab 的值． 17、 化简求值： 114?43x（1）若a?a?1?3，求a2?a?2及 a?a?4a2?a?2?8的值；（2）若xlog23x?2?34?1，求 2x?2?x的值． 1?118、（1）求值： 2lg9?lg2402?1； （2）已知log23?m，log37?n，求log4256． 1?3lg27?lg365 B组： 1.化简: (1)37a2a?3÷ 3a?83a16÷ 3a?3a?1; 3(2) a?a13. a?1?a?13?a?a2?3a?13a?12．设x?1，y?1，且2log22xy?2logyx?3?0，求T?x?4y的最小值． - 4 -