发布时间 : 星期一 文章高三理科圆锥曲线大题试题更新完毕开始阅读
圆锥曲线解答题强化训练
x2y2x2y21．如图，已知椭圆C的方程为2?2?1?a?b?0?，双曲线2?2?1的两条渐近线为l1,l2．过椭圆C的
abab右焦点F作直线l，使l?l1，又l与l2交于点P，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B．
（1）若l1与l2的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，
求椭圆C的方程； （2）求
l1 y P A O l2 l B F x 行四边形，求m的取值范围．
x2y24. 已知F1、F2分别是椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，右焦点F2(c,0)到上顶点的距离为2，若
aba2?6c.
（1）求此椭圆的方程；
（2）点A是椭圆的右顶点，直线y?x与椭圆交于M、N两点（N在第一象限内），又P、Q是此椭圆上两
|FA|的最大值． |AP|?NPNQ??点，并且满足???F1F2?0，求证：向量PQ与AM共线. |NP||NQ|??2．在平面直角坐标系中，已知点F(2,2)及直线l:x?y?2?0，曲线C1是
?x?0?. 满足下列两个条件的动点P(x,y)的轨迹：①PF?2d,其中d是P到直线l的距离；②?y?0?2x?2y?5?（1）求曲线C1的方程；
x2y25．给定椭圆C:2?2?1?a?b?0?，称圆心在坐标原点O，半径为a2?b2的圆是椭圆C的“伴随圆”，已
ab知椭圆C的两个焦点分别是F1?2,0,F2???2,0.
?（1）若椭圆C上一动点M1满足M1F1?M1F2?4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点P?0,t??t?0?作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为23，求P点的坐标； （3）已知m?n??x2y2（2）若存在直线m与曲线C1、椭圆C2:2?2?1(a?b?0)均相切于同一点，求椭圆C2离心率e的取值
ab范围.
cos?3,mn???m?n,???0,???，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过sin?sin?a2?b2?b.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
x2?y2?1的左、右焦点分别为F1、F2，O为原点. 3．已知椭圆C:2 （1）如图1，点M为椭圆C上的一点，N是MF1的中点，且NF2?MF1，求点M到y轴的距离；
图1NF1OF2xMy22两点m,m,n,n的直线的最短距离dmin?????a26．如图，设F (－c, 0)是椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点，直线l：x＝－与x轴交于P点，MN为椭
cabx2y2圆的长轴，已知MN?8，且PM?2MF。 （1）求椭圆的标准方程；
（2）过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A、B。 ①证明：?AFM??BFN； ②求?ABF面积的最大值。
（2）如图2，直线l:y?kx?m与椭圆C相交于P、Q两点，若在椭圆C上存在点R，使四边形OPRQ为平
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7．如图，已知抛物线C：y2?2px和⊙M：(x?4)2?y2?1，过抛物线C上一点H(x0,y0)(y0?1)作两条直
线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为（1）求抛物线C的方程；
（2）当的角平分线垂直x轴时，求直线的斜率； 因为c?2，所以a?b?2，所以a?3，b?1．
22217． 4x2?y2?1． 所以椭圆C的方程为3（2）因为l?l1，所以直线l与的方程为y?a(x?c)，其中c?a2?b2． ?AHBEF（3）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．
x28．设椭圆C:y2a2?b2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，
满足BF1?F1F2，且AB?AF2. （1）求椭圆C的离心率
（2）若过A,B,F2三点的圆与直线x?3y?3?0相切，求椭圆C的方程
（3）在（2）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交予M、N两点，线段MN的中垂线与x轴
相交于P(m,0)，求实数m的取值范围
．解：（1）因为双曲线方程为x2y21a2?b2?1，
所以双曲线的渐近线方程为y??bax． 因为两渐近线的夹角为60且
ba?1，所以?POF?30．所以ba?tan30?33．
所以a?3b．
ly 1 P A O F x
l2 l B 2
b因为直线l?bax，联立直线l与l?a2ab?2的方程为y2的方程解得点P?,?．
?cc?设
|FA||AP|??，则FA??AP． 因为点F?c,0?，设点A?x0,y0?，
则有?xc,y?a2ab?0?0?????c?x0,c?y0?．
?c2??a2解得x?ab0?c?1???，y0?c?1???．
222222因为点A?x在椭圆xy?c??a??ab?0,y0?a2?b2?1上，所以?a2c2?1???2?b2c2?1???2?1．即?c2??a2?2??2a4??1???2a2c2．
等式两边同除以a4得(e2??)2??2?e2(1??)2,e?(0,1).
所以?2?e2?e4?2?2?e2????2?e2?2?e2???3 ??2?2?e2??22?e2?3?3?22??2?1?2 所以当2?e2?22?e2，即e?2?2时，?取得最大值2?1． 故
|FA||AP|的最大值为2?1 2．解：（1）PF?(x?2)2?(y?2)2?x2?y2?22(x?y)?4，
d?x?y?22，
由①PF?2d,得：x2?y2?22(x?y)?4?x2?y2?2xy?22(x?y)?2，
即xy?1. 将xy?1代入②得：x?0,1x?0,x?1x?52，解得： 12?x?2. 所以曲线C11的方程为：y?
x (12?x?2). （2）(解法一)由题意，直线m与曲线C111相切，设切点为M(t,t)，
2?t?2. 则直线m的方程为y?1?(1x)?x?t?(x?t)??1tt2(x?t)，
即y??1t2x?2t. 将y??122x?t代入椭圆C2 的方程b2x2?a2y2t?a2b2，并整理得：
(b2t4?a2)x2?4a2tx?a2(4?b2t2)t2?0.
由题意，直线m与椭圆C12相切于点M(t,t)，则
??16a4t2?4a2(b2t4?a2)(4?b2t2)t2?4a2b2t4(a2?4t2?b2t4)?0，即a2?b2t4?4t2.
又t2122abt即b2t4?a2?a2b2t2. 联解得：b2?22?22?1, t2,a?2t.
由
12?t?2,及a2?b2得1?t?2. 故e2?a2?b215a2?1?1t4， 得0?e2?16,又0?e?1,故0?e?154.
所以椭圆C2离心率e的取值范围是(0,154). 2）(解法二)设直线m与曲线C11x2y211:y?x(2?x?2)、椭圆C2:a2?b2?1(a?b?0) 均相切于同一点M(t,t),则t2111a2?b2t2?1. 由y?x知y???x2;
222?2x由xyxba2a2?b2?1(y?0)知y?b1?a2,y??22??bx2??b2x2. 1?x2xaya2a1?a22故?1bt?t2t2??,a2?b2t4. 联解?a21?a2?1b2t2?1,得b2?2222,a?2tt??a2?b2t4t. 由12?t?2,及a2?b2得1?t?2. 故e2?a2?b2a2?1?1t4， 得0?e2?1516,又0?e?1,故0?e?154. 所以椭圆C152离心率e的取值范围是(0,4). 3．解：(1)由已知得F1(?1，0)，F2(1，0)设M(xx0?10，y0),则MF1的中点为N(2，y02) MFx0?31?NF2?FM1?F2N?0，即(x0?1，y0)?(2，y02)?0 整理得x2?2x?3?y200?0又有x2002?y20?1…………② 由①②联立解得x0?2?22或x0?2?22(舍)
?点M到y轴的距离为22?2 (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(xR，yR)
四边形OPRQ是平行四边形
?线段PQ的中点即为线段OR的中点，即x1?x2?xR，y1?y2?yR
点R在椭圆上，?
(x21?x2)2?(y21?y2)?1 即
(x1?x2)22?[k(x1?x2)?2m]2?1 3
（ 化简得(1?2k2)(x21?x2)?8km(x1?x2)?8m2?2?0……………………………③
?x2由??2?y2?1得(1?2k2)x2?4kmx?2m2?2?0 ??y?kx?m由??0得2k2?1?m2………④且x1?x2??4km1?2k2 16(1?2k2)k2m232k2代入③式得(1?2k2)2?m21?2k2?8m2?2?0 整理得4m2?1?2k2代入④式得m?0，又4m2?1?2k2?1?m??12或m?12
?m的取值范围是(??，?1][122，??) x23y24.（Ⅰ）4?4?1.；
（Ⅱ）详见解析． 5.
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