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量 子 力 学 习 题
第一章 绪论
1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长?m与温度T成反比，即 ?mT=b(常量）；
并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。
1.2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。 1.3 氦原子的动能是E=3kT/2（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。
1.4 利用玻尔－索末菲的量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量；
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
已知外磁场H=10特斯拉，玻尔磁子MB=9×10-24焦耳/特斯拉，试计算动能的量子化间隔?E，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？
第二章 波函数和薛定谔方程
2.1 由下列两定态波函数计算几率流密度： (1) ?1=eikr/r, (2) ?2=e-ikr/r.
从所得结果说明?1表示向外传播的球面波，?2表示向内（即向原点）传播的球面波。
2.2 一粒子在一维势场
??,?U(x)??0,??,?x?00?x?ax?a
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
2.3 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。 2.4 一粒子在一维势阱
?U0?0,U(x)???0,x?ax?a
2中运动，求束缚态(0 2.5 对于一维无限深势阱(0 力学结果比较。 2.6 粒子在势场 ??,?V(x)???V0,?0,?x?00?x?aa?x 中运动，求存在束缚态(E<0)的条件(?，m，a，V0关系)以及能级方程。 1 2.7 求二维各向同性谐振子[V=2k(x2+y2)]的能级，并讨论各能级的简并度。 2.8 粒子束以动能E=?k222m从左方入射，遇势垒 x?0x?0 ?0,V(x)???V0,求反射系数、透射系数。E ???H?22d222mRd?， ?为旋转角。求能级(En)及归一化本征波函数?n(?)，讨论各能级的简并度。 第三章 基本原理 ?(x)??1e??x222i??t2 3.1 一维谐振子处在基态 U?122?22，求： (1) 势能的平均值 ??x； 2?； (2) 动能的平均值 (3) 动量的几率分布函数。 3.2 设t=0时，粒子的状态为 1T?p2?(x)=A[sin2kx+2coskx]， 求此时粒子的平均动量和平均动能。 3.3 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数 ?(x)=Ax(a-x) 描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。 3.4 证明：如归一化的波函数?(x)是实函数，则 ??，?无关），则 3.5 计算对易式[x, Ly]，[pz, Lx]，并写出类似的下标轮换式(x?y, y?z, z?x)。 3.6 证明算符关系 ?????r?L?L?r?2i?r?????p?L?L?p?2i?p 3.7 设F为非厄米算符(F+?F)，证明F可以表示成A+iB的形式，A、B为厄米算符。求A、B与F、F+之关系。 1 3.8 一维谐振子(V1=2kx2)处于基态。设势场突然变成V2=kx2，即弹性力增大一倍。求粒子在V2场中的能级以及此粒子在新势场的基态中出现的几率。 3.9 有线性算符L、M、K，[L, M]=1，K=LM。K的本征函数、本征值记为?n、?n (n=1, 2, ...)。证明：如函数M?n及 L?n 存在，则它们也是K的本征函数，本征值为(?n?1)。 3.10 证明：如H= ?2?p/2m+V(r)， 则对于任何束缚态<>=0。 ?2p/2m-q?x。设 ?p 3.11 粒子在均匀电场中运动，已知H=求x(t)，px(t)。 3.12 ?B粒子在均匀磁场?pt=0时x=0，px=p0， =(0, 0, B)中运动，已知H= ?p时< ?2p/2m ??Lz，?=qB/2mc。 设t=0时< >=(p0, 0, 0)，求t>0 ?>。 3.13 粒子在势场V(r)中运动，V与粒子质量m无关。证明：如m增大，则束缚态能级下降。 第四章 中心力场 4.1 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 Jer=Je?=0, e?mJe?= ??rsin??nlm2。 4.2 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1) 求一圆周电流的磁矩。 (2) 证明氢原子磁矩为 ??????????me?2?me?(SI)(CGS)M?Mz2?c 原子磁矩与角动量之比为 e????2???e????2?c MLzz(SI)(CGS) 这个比值，称为回转磁比率。 4.3 设氢原子处于状态 ?(r,?,?)?12R21(r)Y10(?,?)?32R21(r)Y1?1(?,?), 求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 4.4 利用测不准关系估计氢原子的基态能量。 4.5 对于类氢离子的基态?100，求概然半径（最可几半径）及r,r2。 4.6 对于类氢离子的?nlm态，证明 1 4.7 对于类氢离子的基态?100，计算?x, ?px，验证不确定关系 ?x??px??2。 4.8 单价原子中价电子（最外层电子）所受原子实（原子核及内层电子）的库仑作用势可以近似表示成 V(r)??e2r??ea0r22,0????1 试求价电子能级。与氢原子能级比较，列出主量子数n的修正数公式。[提示： 22将V(r)中第二项与离心势合并，记成l?(l??1)?/2?r，计算(l??l)之值，...]。 第五章 表象理论 ?的本征态矢，?与 5.1 设??n>，??k>是厄米算符H相应于不同的本征值。算符F?H对易。证明=0。