发布时间 : 星期一 文章高中数学必修2同步练习第二章2.3.1更新完毕开始阅读
§2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
一、基础过关
1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是 A．b⊥β C．b?β A．a⊥β C．a?β
B．b∥β D．b?β或b∥β
( )
B．a∥β D．a?β或a∥β
( )
( )
2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是
3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是 A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P?α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为 A．锐角三角形 C．钝角三角形
B．直角三角形 D．无法确定
( )
5. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________； (2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________； (3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______．
6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.
7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点． 求证：CF⊥平面EAB.
8. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.
求证：(1)CD⊥PD； (2)EF⊥平面PCD. 二、能力提升
9. 如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为( )
A．4
B．3 C．2
D．1
( )
10．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，
在翻折过程中
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有
AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．
12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：
B1O⊥平面PAC.
三、探究与拓展
13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距
离为3，求直线AB和平面α所成的角．
答案
1．A 2.D 3．C 4．B 5．(1)45° (2)30° (3)90° 6．90°
7．证明 在平面B1BCC1中， ∵E、F分别是B1C1、B1B的中点， ∴△BB1E≌△CBF， ∴∠B1BE＝∠BCF，
∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE， 又AB⊥平面B1BCC1，CF?平面B1BCC1， ∴AB⊥CF，又AB∩BE＝B， ∴CF⊥平面EAB.
8．证明 (1)∵PA⊥底面ABCD， ∴CD⊥PA.
又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.
(2)取PD的中点G，连接AG，FG.又∵G、F分别是PD、PC的中点，
1∴GF綊CD， 2∴GF綊AE， ∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF. ∵PA＝AD，G是PD的中点， ∴AG⊥PD，∴EF⊥PD， ∵CD⊥平面PAD，AG?平面PAD. ∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.
∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD. 9．A 10．B 11．∠A1C1B1＝90°
12．证明 连接AB1，CB1，设AB＝1.
∴AB1＝CB1＝2，
∵AO＝CO，∴B1O⊥AC.
连接PB1.
322
∵OB21＝OB＋BB1＝， 2
922
PB21＝PD1＋B1D1＝， 4
3
OP2＝PD2＋DO2＝，
4
22
∴OB21＋OP＝PB1.
∴B1O⊥PO，
又∵PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面PAC.
13．解 (1)如图①，当A、B位于平面α同侧时，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分
别为A1、B1，则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝3.过点A作AH⊥BB1于H，则AB和α所成
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角即为∠HAB.而tan∠BAH＝＝.
33∴∠BAH＝30°.
(2)如图②，当A、B位于平面α异侧时，经A、B分别作AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，AB∩α＝C，则A1B1为AB在平面α上的射影，∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成 的角． ∵△BCB1∽△ACA1， BB1B1C∴＝＝2， AA1CA1∴B1C＝2CA1，而B1C＋CA1＝3， 23∴B1C＝. 3BB12
∴tan∠BCB1＝＝＝3，
B1C23
3∴∠BCB1＝60°.
综合(1)、(2)可知：AB与平面α所成的角为30°或60°.