发布时间 : 星期六 文章高考大一轮总复习2.6对数与对数函数更新完毕开始阅读
得165≤a<94.
即实数a的取值范围为[
165，94)．
[点石成金] 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．在研究方程的根时，可把方程的根看作两个函数图象交点的横坐标，通过研究两个函数图象得出方程根的关系.
1.函数f(x)＝lg1
|x＋1|
的大致图象为( )
A B
5
C D
答案：D
解析：f(x)＝lg
1
|x＋1|
＝－lg|x＋1|的图象可由偶函数y＝－lg|x|的图象左移1个单位得到．由y＝－lg|x|的图象可知选D.
2．设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( ) A．x1x2<0 B．x1x2＝0 C．x1x2>1 D．0 答案：D 解析：作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图． 显然x1<0，x2<0. 不妨设x1 此时10 x1<10 x2， 即lg(－x1)<－lg(－x2)， 由此得lg(x1x2)<0， 所以0 考点3 对数函数的性质及应用 1.对数函数的性质 答案：(0，＋∞) (1,0) 1 0 y>0 y<0 y<0 y>0 增 减 2．反函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称． 答案：y＝x [考情聚焦] 对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有． 主要有以下几个命题角度： 6 角度一 比较大小 [典题3] (1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( ) A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b [答案] D [解析] ∵3＜2＜3,1＜2＜5，3＞2， ∴log2＜log＜log11 33＜log333，log5152＜log55，log23＞log22，∴2＜a＜1,0＜b＜2，c＞ ， ∴c＞a＞b. －1 (2)已知x＝ln π，y＝log2 52，z＝e ，则( ) A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x [答案] D [解析] ∵x＝ln π＞ln e，∴x＞1. ∵y＝log52＜log5，∴0＜y＜1 5 2 . －1 ∵z＝e2 ＝1e＞14＝12，∴1 2＜z＜1. 综上可得，y＜z＜x. [点石成金] 比较对数函数值大小的三种方法 (1)单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底． (2)中间量过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行比较传递”． (3)图象法，根据图象观察得出大小关系． 角度二 由对数函数的单调性求参数或自变量的取值范围 7 [典题4] (1)函数f(x)＝loga(ax－3)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是( ) A．(1，＋∞) B．(0,1) C.??0，13?? D．(3，＋∞) [答案] D [解析] 由于a>0，且a≠1， ∴u＝ax－3为增函数，∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数， 因此a>1.又u＝ax－3在[1,3]上恒为正， ∴a－3>0，即a>3. ?logx，x>0f(x)＝?2 ，(2)设函数?log1 ?－x?，x<0. 若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是( ) ??2A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) [答案] C [解析] 由题意可得， ??a<0，?a>0， ??或??log?log1 ?－a?>log 2a>－log2a ? 2?－a?，? 2 解得a＞1或－1＜a＜0. (3)函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为________．[答案] 12 [解析] y＝ax与y＝loga(x＋1)的单调性相同． ①当a＞1时，f(x)的最大值为f(1)，最小值为f(0)． ②当0＜a＜1时，f(x)的最大值为f(0)，最小值为f(1)． ∴不论a＞1还是0＜a＜1都有f(0)＋f(1)＝a，即a0＋log1 a1＋a＋loga2＝a，解得a＝2 . 1“ [点石成金] 1.解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解． 2．对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0 角度三 对数函数性质的综合问题 [典题5] (1)设函数f(x)＝|logax|(0 最小值为，则实数a的值为( ) 3 1A. 42C. 3[答案] C 1 [解析] 作出y＝|logax|(0 a 12B．或 4323D．或 34 ①其图象关于y轴对称； ②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数； ③f(x)的最小值是lg 2； ④f(x)在区间(－1,0)和(1，＋∞)上是增函数． 其中所有正确结论的序号是________． [答案] ①③④ ?－x?2＋1x2＋1 [解析] 因为函数f(－x)＝lg ＝lg ＝f(x)，所以函数为偶函数，即图象关于y |x||－x|1 轴对称，故①正确．因为函数y＝x＋在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以 x1 函数y＝|x|＋在(－∞，－1)和(0,1)上单调递减，在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，从而函数 |x|f(x)在区间(－1,0)和(1，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，－1)和(0,1)上是减函数，故②错，④x2＋11 正确．③因为＝|x|＋≥2 |x||x| 1 |x|·＝2，所以f(x)≥lg 2，即最小值为lg 2，故③正确． |x| [点石成金] 解决对数函数综合问题时，要注意以下三点： (1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)； (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行； (3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误. [方法技巧] 1.对数值取正、负值的规律 当a>1且b>1或0 1?1－a?1－a??a－1?1－1＝1－a－又1－a－?＝<0，故1－a<－1， ?a?aaa12 所以n－m的最小值为1－a＝，a＝. 33(2)关于函数f(x)＝lg 2．比较幂、对数大小有两种常用方法 (1)数形结合； (2)找中间量结合函数单调性． 3．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定． 8 x＋1 (x≠0)，有下列结论： |x| 2