初中数学定义、定理、公理、公式汇

初中数学定义、定理、公理、公式汇编

直线、线段、射线

1. 过两点有且只有一条直线. (简:两点决定一条直线) 2.两点之间线段最短 3.同角或等角的补角相等. 同角或等角的余角相等.

4. 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 5. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短. (简:垂线段最短) 平行线的判断

1.平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.

2.如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行(简:平行于同一直线的两直线平行)

3.同位角相等,两直线平行. 4.内错角相等,两直线平行. 5.同旁内角互补,两直线平行. 平行线的性质

1.两直线平行,同位角相等. 2.两直线平行,内错角相等. 3.两直线平行,同旁内角互补. 三角形三边的关系

1.三角形两边的和大于第三边、三角形两边的差小于第三边. 三角形角的关系

1. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°.

2.直角三角形的两个锐角互余.

3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

4. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

全等三角形的性质、判定

1.全等三角形的对应边、对应角相等.

2.边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.

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3. 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.

4.推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.

5. 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等. 6. 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 角的平分线的性质、判定 性质:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 判定:到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上. 等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角).

2.推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 .

3.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.

4.推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° . 等腰三角形判定

1等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

2.三个角都相等的三角形是等边三角形. 3.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

线段垂直平分线的性质、判定 1. 定理: 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 .

2.逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.

3.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合.

轴对称、中心对称、 平移、旋转 1. 关于某条直线对称的两个图形是全等形 2.如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 3.两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 4.若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称. 5.关于中心对称的两个图形是全等的. 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分.

6. 若两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点成中心对称.

7.平移或旋转前后的图形是不变的.中心对称是旋转的特殊形式。

勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方

222

和、等于斜边c的平方,即a+b=c .

勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、

222

b、c有关系a+b=c,那么这个三角形是直角①直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半.

②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半. n边形、四边形的内角和、外角和 1.四边形的内角和等于360°. 2.四边形的外角和等于360°

3.多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)180°.

4.推论 任意多边的外角和等于360°. 平行四边形性质

1.平行四边形的对角相等. 2.平行四边形的对边相等.

3.夹在两条平行线间的平行线段相等. 4.平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形判定

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 2.两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 4.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

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5. 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 矩形性质

1. 矩形的四个角都是直角 . 2. 矩形的对角线相等. 矩形判定

1.有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.有三个角是直角的四边形是矩形. 3. 对角线相等的平行四边形是矩形 . 菱形性质

1、菱形的四条边都相等.

2. 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.

3、菱形面积=对角线乘积的一半,即s?1ab 2菱形判定

1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.四边都相等的四边形是菱形

3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 正方形性质

1.正方形的四个角都是直角,四条边都相等. 2.正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. 正方形判定

1.四个角都是直角,四条边都相等的四边形是正方形

2.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.

等腰梯形性质

1.等腰梯形在同一底上的两个角相等. 2.等腰梯形的两条对角线相等. 等腰梯形判定

1.同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 2.对角线相等的梯形是等腰梯形.

①经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰.

②经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边. 三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.

梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 l?1(a?b),S=Lh

2比例的基本性质 如果a:b=c:d ad=bc 中,相等的圆周角所对的弧也相等. 相似三角形判定 ②半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90° 1.定理:平行于三角形一边的直线和其他两边的圆周角所对的弦是直径. 相交,所构成的三角形与原三角形相似. ③如果三角形一边上的中线等于这边的一半, 2.两角对应相等,两三角形相似. 那么这个三角形是直角三角形 . 3.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似 三角形的外心,三角形外接圆的圆心,它是三4.三边对应成比例,两三角形相似 边的中垂线的交点,到三个顶点的距离相等. 5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边三角形的内心,三角形内切圆的圆心,它是三与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对个内角的平分线的交点,到三边的距离相等. 应成比例,那么这两个直角三角形相似. 直角三角形三边为a、b、c,c为斜边,则外相似三角形性质 c接圆的半径R?;内切圆的半径r?a?b?c

1. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与22对应角平分线的比都等于相似比. 直线和圆的位置关系 2.相似三角形周长的比等于相似比.

①直线L和⊙O相交 d<r

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方.

②直线L和⊙O相切 d=r

4.位似图形是相似图形的特殊形式。位似比等

③直线L和⊙O相离 d>r

于相似比。

切线的判定:经过半径的外端且垂直于这切线

切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径

1.圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 .

2.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半

②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

径.的点的集合.

切线长定理. 从圆外一点引圆的两条切线,它

3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半

们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两

径的点的集合.

条切线的夹角.

4.同圆或等圆的半径相等.

圆和圆的位置关系

5.不在同一直线上的三点确定一个圆。

如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上

垂径定理

①两圆外离 d>R+r

1.垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所

②两圆外切 d=R+r

对的两条弧 .

③两圆相交 R-r<d<R+r(R>r)

推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于

④两圆内切 d=R-r(R>r)

弦,并且平分弦所对的两条弧 .

⑤两圆内含d<R-r(R>r)

②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对

正多边形和圆

的两条弧.

①依次连结各等分点所得的多边形是这个圆

③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,

的内接正n边形 n(n≥3):

并且平分弦所对的另一条弧 .

②经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点

3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 .

为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 .

4.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相

定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内

等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等 .

切圆,这两个圆是同心圆.

5.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、

正n边形的每个内角都等于??1(n?2)180? 两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么

n它们所对应的其余各组量都相等.

定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对

成2n个全等的直角三角形. 的圆心角的一半.

①同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆

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正三角形面积s?3a2, a表示边长.

4n?r扇形弧长: l?

1801n?r21n?r扇形面积: s??r?lr

23602180圆拄的侧面积s?2?rh

圆拄的表面积s?2?rh?2?r2

1圆锥的侧面积s?.2?rl??rl

2圆锥的表面积s?幂的运算:

0

-p

一元二次方程ax+bx+c=0根的判别式. 2

b-4ac=0 方程有两个相等的实根. 2

b-4ac>0 方程有两个不等的实根. 2

b-4ac<0 方程没有实根.

2

二次函数y=ax+bx+c (a≠0)。 2

b-4ac=0 抛物线与x轴只有一个公共点. 2

b-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点 2

b-4ac<0 抛物线与x轴有没有公共点.

2

①抛物线的一般式: y=ax+bx+c。(a≠0)

2

②抛物线的顶点式 :y=a(x-h)+k。 顶点(h,k),对称轴为直线x??b?h

2a2

?rl??r2

1①a≠0时a=1,a=p

a②am an= am+n;(am)n= am n

③0的0次幂没有意义

22

平方差:a-b=(a+b)(a-b)

222222

完全平方:a+2ab+b=(a+b) a-2ab+b=(a-b) 推广:a2+b2=(a+b)2-2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab 一次函数y=kx+b(k≠0) k>0,y随x的增大而增大 k<0,y随x的增大而减少 正比例函数y=kx (k≠0)

①k>0,y随x的增大而增大,直线y=kx经过(0,0),(1,k), 经过第一、三象限 ②k<0,y随x的增大而减少,直线y=kx经过(0,0),(1,k),经过第二、四象限

k反比例函数y?(k≠0)

x①k>0,双曲线在第一、三象限,在每个象限内,随x的增大而减少.

②k<0,双曲线在第二、四象限,在每个象限内,随x的增大而增大当

22

一元二次方程ax+bx+c=0( b-4ac≥0)根为 ?b?b2?4ac ?b?b2?4ac x2?x1?2a2a?b?b2?4ac?b?b2?4acbx1?x2????

2a2aa?b?b2?4ac?b?b2?4acc

x1?x2???2a2aa

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最大(小)值 为 4ac?b(左同右异 )

4a2③抛物线的两根式: y=a(x-x1)(x-x2)

常见的勾股数(整数)3,4,5; 6,8,10; 5,12,13; 8,15,17,9,40,41等。 常见的无理数;?,

2 3,等等

5≈2.236

60° 90° 32122≈1.414 3≈1.732

45° 22锐角三角函数 ? 0° 30° sin? cos? tan? 0 1 0 12 1 0 / 323322 1 3 有效数字:从左边第一个不是0的数起,到最后一个数止。如0.03120有效数字为3、1、2、0共4个有效数字。

中位数:把一列数从大到小(或从小到大)排列,若有奇数个数,中间一个为中位数,若有偶数个数,中间两个的平均数为中位数. (2)方差公式:

1s2?[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2].

n五个连续整数的方差是2,标准差为2.

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