发布时间 : 星期四 文章2017届广州市普通高中毕业班综合测试（一）（理数）试题及答案更新完毕开始阅读
2 (Ⅰ) 法1:由x?4y,得y?1211x,所以y??x. 所以直线PA的斜率为x1. 4221212x1,y2?x2. 44 因为点A?x1,y1?和B?x2,y2?在抛物线C上, 所以y1? 所以直线PA的方程为y?121x1?x1?x?x1?. …………………………………1分 42 因为点P?a,?2?在直线PA上, 所以?2?2121x1?x1?a?x1?,即x12?2ax1?8?0. ………………………………2分 42 同理, x2?2ax2?8?0. …………………………………………3分 所以x1,x2是方程x?2ax?8?0的两个根.
所以x1x2??8. …………………………………………4分 又y1y2?2121212x1?x2??x1x2??4, …………………………………………5分 4416 所以x1x2?y1y2??4为定值. …………………………………………6分 法2:设过点P?a,?2?且与抛物线C相切的切线方程为y?2?k?x?a?, ………………1分
由??y?2?k?x?a?,2yx?4kx?4ka?8?0, 消去得2?x?4y,2由??16k2?4?4ak?8??0, 化简得k?ak?2?0. ……………………………2分 所以k1k2??2. …………………………………………………………………3分
2由x?4y,得y?121x,所以y??x. 4211x1,直线PB的斜率为k2?x2. 22 所以直线PA的斜率为k1? 所以
1x1x2??2, 即x1x2??8. …………………………………………4分 4 又y1y2?121212x1?x2??x1x2??4, …………………………………………5分 4416 所以x1x2?y1y2??4为定值. …………………………………………6分 (Ⅱ) 法1：直线PA的垂直平分线方程为y? 由于y1?y1?2x?a?2????x?1?, ……………7分 2x1?2?122x1,x1?8?2ax1, 4 9
所以直线PA的垂直平分线方程为y? 同理直线PB的垂直平分线方程为y?ax1x?a?2????x?1?. ① ……………8分 4x1?2?ax2x?a?2????x?2?. ② ……………9分 4x2?2?3a2 由①②解得x?a, y?1?,
22?3a2??. ……………………………………………………10分 所以点M?a,1?22???????3?a2?????,PF???a,3?. 抛物线C的焦点为F?0,1?, 则MF???a,?2??2????????3a23a2??0，……………………………………………………11分 由于MF?PF?22???????? 所以MF?PF.
所以以PM为直径的圆恒过点F. …………………………………………………12分
?3?a2??另法: 以PM为直径的圆的方程为?x?a??x?a???y?2??y?1???0. ……11分
2?2???把点F?0,1?代入上方程,知点F的坐标是方程的解.
所以以PM为直径的圆恒过点F. …………………………………………………12分 法2：设点M的坐标为?m,n?，
则△PAB的外接圆方程为?x?m???y?n???m?a???n?2?， 由于点A?x1,y1?,B?x2,y2?在该圆上， 则?x1?m???y1?n???m?a???n?2?， ?x2?m???y2?n???m?a???n?2?.
两式相减得?x1?x2??x1?x2?2m???y1?y2??y1?y2?2n??0, ① …………7分 由(Ⅰ)知x1?x2?2a,x1x2??8,y1?2222222222221212x1,y2?x2,代入上式得 443 ?x1?x2?4a?4m?a?4a?2an?0, ……………………………………8分
?? 当x1?x2时, 得8a?4m?a?2an?0, ②
3???????? 假设以PM为直径的圆恒过点F,则MF?PF,即??m,n?1????a,?3??0,
得ma?3?n?1??0, ③ ……………………………………………………9分 由②③解得m?
31a,n?1?a2, …………………………………………………10分 2210
所以点M?1??3a,1?a2?. ……………………………………………………11分
2??2当x1?x2时, 则a?0,点M?0,1?.
所以以PM为直径的圆恒过点F. …………………………………………………12分 （21）解:
(Ⅰ)法1: 函数f?x??lnx?a的定义域为?0,???. xa1ax?a由f?x??lnx?, 得f??x???2?2. ……………………………………1分
xxxx 因为a?0,则x??0,a?时,f??x??0;x??a,???时,f??x??0.
所以函数f?x?在?0,a?上单调递减, 在?a,???上单调递增. ………………………2分 当x?a时,??f?x???min?lna?1. …………………………………………………3分
当lna?1?0, 即0?a?1时, 又f?1??ln1?a?a?0, 则函数f?x?有零点. …4分 e所以实数a的取值范围为?0,法2：函数f?x??lnx?由f?x??lnx??1?. ……………………………………………………5分 ?e??a的定义域为?0,???. xa?0, 得a??xlnx. …………………………………………………1分 x令g?x???xlnx，则g??x????lnx?1?.
当x??0,?时, g??x??0; 当x??,???时, g??x??0.
??1?e??1?e??所以函数g?x?在?0,?上单调递增, 在?,???上单调递减. ……………………2分
??1?e??1?e??故x?1111?1?时, 函数g?x?取得最大值g????ln?. …………………………3分 eeee?e?1a有零点, 则0?a?. ………………………………………4分
ex?1?. …………………………………………………5分
?e??因而函数f?x??lnx?所以实数a的取值范围为?0, (Ⅱ) 令h?x??xlnx?a, 则h??x??lnx?1.
11
当0?x?11时,f??x??0;当x?时,f??x??0. e e
所以函数h?x?在?0,?上单调递减, 在?,???上单调递增.
??1?e??1?e??11时, ?hx???a. ………………………………………6分 ?????minee211 于是,当a?时, h?x????a?.① ………………………………………7分
eee
当x? 令??x??xe?x, 则???x??e?x?xe?x?e?x?1?x?. 当0?x?1时,f??x??0;当x?1时,f??x??0.
所以函数??x?在?0,1?上单调递增, 在?1,???上单调递减.
1. ……………………………………………………………8分 e1 于是, 当x?0时, ??x??.② ………………………………………………9分
e
当x?1时, ????x???max? 显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立. 故当x?0,a?2时, xlnx?a?xe?x. ……………………………………………10分 e 因为b?1,所以lnb?0.
所以lnb?ln?lnb??a?lnb?e?lnb. …………………………………………11分 所以ln?lnb??（22）解： (Ⅰ) 由?a11?, 即f?lnb??. ………………………………………12分 lnbbb?x?3?t,消去t得x?y?4?0, ………………………………………1分
?y?1?t,
所以直线l的普通方程为x?y?4?0. ………………………………………2分 由??22cos????????????22cos?cos?sin?sin????2cos??2sin?, ……3分4?44??
得?2?2?cos??2?sin?. ………………………………………4分 将?2?x2?y2,?cos??x,?sin??y代入上式,
得曲线C的直角坐标方程为x2?y2?2x?2y, 即?x?1???y?1??2. ………5分 (Ⅱ) 法1:设曲线C上的点为P1?2cos?,1?2sin?, ………………………………6分
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