发布时间 : 星期四 文章2018年湖南省郴州市高考数学二模试卷(理科)更新完毕开始阅读
15．过点
的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=4交于A、B两点，C为圆心，
当∠ACB最小时，直线l的方程为 2x﹣4y+3=0 ． 【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程． 【分析】研究知点
在圆内，过它的直线与圆交于两点A，B，当∠ACB
最小时，直线l与CM垂直，故先求直线CM的斜率，再根据充要条件求出直线l的斜率，由点斜式写出其方程． 【解答】解：验证知点
在圆内，
当∠ACB最小时，直线l与CM垂直， 由圆的方程，圆心C（1，0） ∵kCM=∴kl=
∴l：y﹣1=（x﹣），整理得2x﹣4y+3=0 故应填2x﹣4y+3=0
16．已知函数f（x）=2|cosx|sinx+sin2x，给出下列四个命题： ①函数f（x）的图象关于直线②函数f（x）在区间
对称； 上单调递增；
=﹣2，
③函数f（x）的最小正周期为π； ④函数f（x）的值域为[﹣2，2]．
其中真命题的序号是 ②④ ．（将你认为真命题的序号都填上） 【考点】正弦函数的图象．
【分析】利用三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
=2|cosx|sinx+sin2x，【解答】解：对于函数f（x）由于f（﹣=0，∴f（﹣
）≠f（
），
=﹣2，f（）
）
故f（x）的图象不关于直线在区间
上，2x∈[﹣
对称，故排除①． ，
]，f（x）=2|cosx|sinx+sin2x=2sin2x 单
调递增，故②正确． 函数f（
）=
，f（
）=0，∴f（
）≠f（
），故函数f（x）的最小
正周期不是π，故③错误．
当cosx≥0时，f（x）=2|cosx|sinx+sin2x=2sinxcosx+sin2x=2sin2x，故它的最大值为2，最小值为﹣2；
当cosx＜0时，f（x）=2|cosx|sinx+sin2x=﹣2sinxcosx+sin2x=0， 综合可得，函数f（x）的最大值为2，最小值为﹣2，故④正确， 故答案为：②④．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知等差数列{an}．满足：an+1＞an（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，an+2log2bn=﹣1． （Ⅰ）分别求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{an?bn}的前n项和Tn． 【考点】数列的求和．
【分析】（Ⅰ）设d、为等差数列{an}的公差，且d＞0，利用数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，求出d，然后求解bn． （Ⅱ）写出
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设d、为等差数列{an}的公差，且d＞0
由a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3成等比数列， 得（2+d）2=2（4+2d），
d＞0，所以d=2，所以an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1， 又因为an=﹣1﹣2log2bn， 所以log2bn=﹣n即bn=
．…
利用错位相减法求和即可．
（Ⅱ）…①， …②，
①﹣②，得
．…
∴…
18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1．
（Ⅰ）求B的大小； （Ⅱ）若
，
，求△ABC的面积．
【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦，去括号后利用两角和与差的余弦函数公式化简，再由诱导公式变形求出cosB的值，即可确定出B的大小；
（Ⅱ）由cosB，b的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b以及b的值代入求出ac的值，再由cosB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
【解答】解：（Ⅰ）由2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1得：2cosAcosC（﹣1）=1，
∴2（sinAsinC﹣cosAcosC）=1，即cos（A+C）=﹣， ∴cosB=﹣cos（A+C）=， 又0＜B＜π， ∴B=
；
=，
（Ⅱ）由余弦定理得：cosB=
∴又a+c=∴
，b=
=， ，
﹣2ac﹣3=ac，即ac=，
=
．
∴S△ABC=acsinB=××
19．AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，CF∥AE，AB=2，CF=3． （1）求证：BD⊥平面ACFE；
（2）当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求AE的长度．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）由AE⊥平面ABCD得出AE⊥BD，由菱形性质得BD⊥AC，故而BD⊥平面ACFE；
（2）以O为原点建立坐标系，设CF=a，求出线FO与平面BED所成角的大小为45°，可得
和平面BDE的法向量，利用直
，即可求出a的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．… ∵AE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，… ∴BD⊥AE，…
又AC?平面ACFE，AE?平面ACFE，AC∩AE=A，… ∴BD⊥平面ACFE．…
（2）解：以O为原点，以OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系．…