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数学建模人口老龄化问题论文
摘要
我国是世界第一人口大国,地球上每5个人中就有一个中国人.在20世纪的一段时间内,我国人口的增长速度过快,有效地控制我国人口的增长,解决养老金制度面临一胎化政策、人口老龄化、及通膨加剧、社保基金收益低等一系列问题，不仅是深入贯彻科学发展观的需要,而且对于全人类的美好理想来说,也是我们义不容辞的责任。
本文中通过查询国家统计局，中国统计年鉴-2011；东方早报，南方都市报，等各个网站的数据，并对所查信息进行分析，通过模型建立与分析，以解决以下几个问题；
针对问题一
我们利用Leslie模型来预测的，首先我们将人按年龄大小等间距的分隔，建立Leslie矩阵，建立Leslie模型，通过Matlab的程序运算，预测中国未来40年内的各个年龄段的人口数量，通过Excel分析预测中国未来的40年内人口的结构：青少年与中年人的数目相对平衡，而老龄人占大多数，老龄化速度加快；
针对问题二
我们对所搜集到的数据用最小二乘法来分析用残差平方和来度量测量值与回归直线的接近或偏差程度。利用MatlAB程序求解，并作出养老金累计结余金额实际测量值与回归值的拟合曲线图作出判断，并且运用MatlAB程序预测未来养老金数额，得到结论：未来养老金数额呈直线上升趋势，也就是说未来养老金规模将逐渐变大。
针对问题三
我们采用拟合曲线来分析未来四十年的人均收入，再根据资料取通货膨胀率k=3% 10% 15% 20% 条件下判断未来养老金是否能保障退休水平。
针对问题四 我们从生育问题、国民经济总值、个人税收三个方面提出未来“养老难”的可行性方案。
针对问题五
问题重述
一、分析中国未来 40 年内的人口结构和中国老龄化的速度； 二、对未来的养老金规模进行预测；
三、分析在不同水平的通货膨胀率下未来养老金是否能真正保障退休水平（收入为当时居民收入的平均收入水平或一些保证生活所需的收入水平）；
四、提出解决未来“养老难”的可行性方法；
五、如果将退休年龄从60岁推迟到65岁将会对中国有什么利弊；
问题一
一、模型假设
1、假设人口的出生率与死亡率不随时间段k变化，只与年龄组有关。 2、时间以年为单位，年龄按周岁计算，最大年龄。 3、较短时间内，平均年龄变化较小，可以认为不变。 4、不考虑移民引起人口总人数的变动。 二、符号说明
1、表示年份（表示规定的初始年）
2、用表示第年岁（指满岁但不到岁）的人数，
, (设为最高年龄)
3、表示第年岁女性生育率（每位女性平均生育的婴儿数），育龄区 4、表示岁人口的女性比
5、表示第年所有育龄女性平均生育的婴儿数 6、表示岁人口的死亡率 7、表示岁人口的存活率
三、模型建立与求解 1、模型准备
模型主要考虑女性人口数,鉴于男女人口数有一定的比值(可以预测出来),则由女性人口可以得之总人口数,将女性按年龄顺序分成若干组，假设每一组的妇女有相同的生育率和死亡率,并且假设最大寿命为90岁(90岁以上按90岁计算)。以年为区间,其中15~49岁年龄段的女性有生育能力。 下面建立模型来描述在时刻的性态。
第0年龄组在时间的人数为这1年内出生并存活的人数，即 ................................................(1) 设在年龄组的人数均正比于前一年龄组在时间的人数,即对 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2) 其中,表示第个年龄组中至时存活下来并进入年龄组的的人的比例.用矩阵记号,人口增长模型可以表示为
????????????????????(3) 其中
此模型可以用递推的方式预测各年龄组的人数，进而对人口总量及其年龄结构进行预测，由于人群中只有岁的妇女有生育能力，而最大寿命为90岁，则矩阵中，显然有
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4） 下面确定动态矩阵的表达式即确定向量，； 1，确定
经分析计算得 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5） 其中
所以将各个年龄值带入即可求得.
2，确定 分析计算得
综合以上的1,2即可求得矩阵关于的函数。
用Matlab编程（附录1-1）计算2010到2051年的人口总数及各年龄段的总人数（附录1-2），由计算得到的数据通过excel工作表分析整理数据得到2010-2052年的不同年龄阶段（包括男女）总人数预测折线图（图1）与人口结构预测图（图2）及高龄人口占总人口比例趋势预测图（图3） 图1：
图2
通过不同年龄阶段（包括男女）总人数预测折线图（图1）可看出青年人数从2010年的4.57亿增加到2032年3.52亿的人口数量此时达到最高峰，之后人口数量开始下降，到2050年数量达到3.10亿，总体来说达到平稳状态。中年人的人口数量发展趋势与青少年的类似从2010年的5.59亿增加到2030年的6.86亿达到最高峰此后开始下降，到2050年数量到达5.47亿，说达到平稳状态。总体来看青年人与老年人的数量在中国未来的40年内总体保持平衡状态。总的看青年人与中年人的人数总量发展平稳先增后减最终平稳。
通过人口结构预测图（图2）可看出2010年各个年龄阶段的人口总数相对平衡而在之后的几年里老年人的人口数量将会有明显的增加，2050年人口将达到4.37亿。
综上分析可得结论
中国未来的40年内人口结构为：青少年与中年人的数目相对平衡，而老龄人占大多数，也就是说中国在未来的40年内将进入老龄化社会 图3：
分析高龄人口占总人口比例趋势预测图（图3）可得到以下结论：
局部分析可看出2010年（8.0%）到2032年（15.2%）65岁及65岁以上的人口占全国人口总数的比例从呈增长趋势，但2033年（15.4%）到2035年（15.7%）这几年65岁及65岁以上的人口占全国人口总数的比例增长速度相对前年来说呈稳定状态。2036（16.2%）年到2050年（24.5%）年增长速度明显加快，2050年以后增长稳定下来，也就是说在未来的40年内65岁及65岁以上的老龄人口会越来越多
分析60岁及60岁以上的人口占全国人口总数的比例可知从2010年（11.5%）到2026年（18.4%）呈增长趋势2027年（18.9%）到2030年（19.5%）呈稳定增长状态，但以后的几年也就是说从2031年（20.1%）到2050年（30.4%）增长速度明显加快也就是说在未来的40年内60岁及60岁以上的老龄人口会越来越多。
综上分析可得结论：中国在未来的40年内老龄人口占全国人口总数的比例呈增长趋势，也就是说中国的老龄人数量将会持续的增加，中国在未来的40年内将会进入老龄化社会。
问题二 通过查找统计年鉴等各种资料，找出中国已公布的历年养老金规模如下表： 年份 养老金规模 养老金基金支出 养老金累计结余 1991 215.7 173.1 144.1 1992 365.8 321.9 220.6 1993 503.5 470.6 258.6 1994 707.4 661.1 304.8 1995 950.1 847.6 429.8 1996 1171.8 103.9 578.6 1997 1337.9 1251.3 682.8 1998 1459 1511.6 587.8 1999 1965.1 1924.9 733.5 2000 2278.5 2115.5 947.1 2001 2489 2321.3 1054.1 2002 3171.5 2842.9 1608 2003 3680 3122.1 2205.5 2004 4258.4 3502.1 2975 2005 5093.3 4040.3 4041 2006 6309.8 4896.7 5488.9 2007 7834.2 5964.9 7391.4 2008 9740.2 7389.6 9931 2009 11490.8 8894.4 12526.1 2010 13419.5 10554.9 15365.3 单位：亿元 图1 现将1991——2010年的养老金累计结余金额随时间的数据转换成图标形式如下： 图4 模型建立与求解： 模型假设： 1、假设在未来的预测中社会安定， 2、假设