发布时间 : 星期日 文章北京中考数学--几何、二次函数综合题压轴题解析汇总更新完毕开始阅读
（2）当点G在射线EC上时，如图②， 在EF上截取EH使EH=BG． 由（1）可证△DBG≌△DEH． ∴DG=DH，∠BDG=∠EDH．
∵∠BDE=∠BDG﹣∠EDG=60°，
∴∠GDH=∠EDH﹣∠EDG=60°． ∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形．
（3）当点G在BC延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立． 综上所述，点G在直线BC上的任意位置时，该结论成立．
点评：本题考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，难度较大，关键是巧妙地作出辅助线进行解题．
2009朝阳区一模
25. （1）已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在斜边AB上，且∠DCE=45度．求证：线
段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形；
（2）已知：如图2，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件
，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出
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此时等腰三角形顶角的度数；
（3）在（1）的条件下，如果AB=10，求BD?AE的值．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理。 专题：证明题；开放型。 分析：（1）可通过构建全等三角形将所求的三条线段转换到同一个三角形中，然后证明那个三角形是直角三角形即可．可以CE为一边作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，连接DF、EF，那么我们可得出△CFE≌△CBE，于是EF=BE，然后我们再设法求得AD=DF，就能将三条线段转换到同一三角形中了．要证明AD=DF就要证明三角形DCF和DCA全等．这两个三角形中已知的条件AC=BC=CF，又有一条公共边只要证得两组对应边的夹角相等即可．∠DCE=∠ECF+∠DCF=45°，那么∠DCA+∠ECB=45°，因此∠DCF=∠DCA这样就构成了三角形全等的条件，那么两三角形全等，AD=DF，根据上面两组全等三角形，我们可得出∠1+∠2=∠A+∠B=90°，因此三角形DEF是个直角三角形，那么也就得出AD、DE、BE总能构成一个直角三角形了．
（2）解题思路和辅助线作法与（1）完全相同，只不过得出AD=DF，EF=BE后，要使三角形DEF是个等腰三角形就要让DE=EF，即AD=BE，那么这个条件就是AD=BE． （3）本题可通过相似三角形得出线段的比例来求得．∠AEB=45°+∠BCE=∠BCD，∠A=∠B=45°，我们可得出AE：BC=AC：BD，即BD?AE=AC?BC=AC，直角三角形ACB中，我们知道AC+BC=AB，即AC=50，那么BD?AE=50． 解答：（1）证明：如图1，∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠A=∠B=45°． 以CE为一边作∠ECF=∠ECB，在CF上 截取CF=CB，则CF=CB=AC． 连接DF、EF，则△CFE≌△CBE． ∴FE=BE，∠1=∠B=45°． ∵∠DCE=∠ECF+∠DCF=45°， ∴∠DCA+∠ECB=45°． ∴∠DCF=∠DCA． ∴△DCF≌△DCA． ∴∠2=∠A=45°，DF=AD． ∴∠DFE=∠2+∠1=90°． ∴△DFE是直角三角形． 又AD=DF，EB=EF， ∴线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形．
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（2）解：当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图2，与（1）类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB， 可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA． ∴AD=DF，EF=BE． ∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°． 若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE． ∴当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形． 且顶角∠DFE为120°．
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