2019届高考数学大二轮复习精品练习:第1部分 专题4 数列 第1讲 Word版含解析

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第一部分 专题四 第一讲

A组

1.(2018·唐山模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S11=22,则a3+a7+a8=( D )

B.12D.6

A.18 C.9

[解析]本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式.

由题意得S11=错误!=错误!=22,即a1+5d=2,所以a3+a7+a8=a1+2d+a1+6d+a1+7d=3(a1+

B.32D.64

5d)=6,故选D.

A.31 C.63

[解析]解法一:由条件知:an>0,且

2.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=( C )

??a1+a2=3,

?∴错误!a1+a2+a3+a4=15,??

∴q=2.

1-26

∴a1=1,∴S6==63.

1-2

解法二:由题意知,S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4),即122=3(S6-15),∴S6

=63.

3.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序

后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于( D )

B.7D.9

A.6 C.8

??a+b=p>0,

[解析]由题可得?所以a>0,b>0,不妨设a>b,所以等比数列为a,-2,b或b,-2,

??ab=q>0,

a从而得到ab=4=q,等差数列为a,b,-2或-2,b,a从而得到2b=a-2,两式联立解出a=4,b=1,

所以p=a+b=5,所以p+q=4+5=9.

1

a9+a10

4.(2017·山西四校联考)已知等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则

2a7+a8

B.1-

2

A.1+

=( C )2

D.3-2

2C.3+22

[解析]本题主要考查等差数列、等比数列.

11

∵a1,a3,2a2成等差数列,∴a3×2=a1+2a2,

22

2或q=1-

2(舍),

即a1q2=a1+2a1q,∴q2=1+2q,解得q=1+

a9+a10

∴=错误!=q2=(1+错误!)2=3+2错误!.a7+a8

*

5.正项等比数列{an}满足:a3=a2+2a1,若存在am,an,使得am·an=16a21,m,n∈N,则

B.163

D.

2

1m

9n

的最小值为( C )

A.2 11C.

4

[解析]设数列{an}的公比为q,a3=a2+2a1?q2=q+2?q=-1(舍)或q=2,∴an=a1·2n1,am·an=16a21?a21·2m

+n-2

=16a21?m+n=6,∵m,n∈N*,∴(m,n)可取的数值组合为(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),

911

计算可得,当m=2,n=4时,+取最小值.mn4

1

26.已知{an}是等差数列,公差d不为零,若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=,d=-1.

3[解析]由题可得(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),故有3a1+2d=0,又因为2a1+a2=1,即3a1+d=1,联立

7.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,设Sn为数列{an}的前n项和,对于任意的n>1,n

2

可得d=-1,a1=.3

N,Sn+1+Sn-1=2(Sn+1)都成立,则S10=91.

[解析]因为任意的n>1,n∈N,Sn+1+Sn-1=2(Sn+1)都成立,所以Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2,

所以an+1=an+2,因为a3=a2+2=4,

所以an=a2+(n-2)×2=2+(n-2)×2=2n-2,n≥2,

9×8

所以S10=a1+a2+a3…+a10=1+2+4+…+18=1+2×9+×2=91.

2

8.(2018·江苏无锡一模)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=4,则a

8的值为2.

[解析]∵等比数列{an}的前n项和为Sn,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=4,

∴错误!

3

1

解得a1q=8,q=-,

2

7

32

∴a8=a1q=(a1q)(q)=8×=2.

4

1

9.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an-p(n∈N*),其中p是不为零的常数.

(1)证明:数列{an}是等比数列;

(2)当p=3时,若数列{bn}满足bn+1=an+bn(n∈N*),b1=2,求数列{bn}的通项公式.

[解析](1)证明:因为Sn=4an-p(n∈N*),

则Sn-1=4an-1-p(n∈N*,n≥2),

所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1,

4

整理得an=an-1.

3

p

由Sn=4an-p,令n=1,得a1=4a1-p,解得a1=.3

p4

所以{an}是首项为,公比为的等比数列.33

4-

(2)因为a1=1,则an=()n1,

3

4-

由bn+1=an+bn(n=1,2,…),得bn+1-bn=()n1,

3

当n≥2时,由累加法得

bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)

=2+错误!=3·(错误!)n1-1,

4-

当n=1时,上式也成立.∴bn=3·()n1-1.

3

10.(文)(2017·蚌埠质检)已知数列{an}是等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,且a3=3,S3=9.

3

4

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=log2,且{bn}为递增数列,若cn=,求证:c1+c2+c3+…+cn<1.

a2n+3bn·bn+1

[解析](1)设该等比数列的公比为q,11

则根据题意有3·(1++)=9,

qq2

从而2q2-q-1=0,1

解得q=1或q=-.

2当q=1时,an=3;

11-

当q=-时,an=3·(-)n3.

22

(2)证明:若an=3,则bn=0,与题意不符,

1-

故an=3(-)n3,

2

1

此时a2n+3=3·(-)2n,

2∴bn=2n,符合题意.

∴cn=错误!

1

=错误!1

=-,nn+1

1

从而c1+c2+c3+…+cn=1-<1.

n+1

(理)设n∈N*,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.

(1)求数列{xn}的通项公式;

1

(2)记Tn=x21x23…x2n-1,证明:Tn≥.4n

[解析](1)y′=(x2n2+1)′=(2n+2)x2n1,曲线y=x2n2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2,从而切线

方程为y-2=(2n+2)(x-1).

令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标

xn=1-=.

n+1n+1

1

n

(2)证明:由题设和(1)中的计算结果知

?1??3??2n-1?

?2.Tn=x21x23…x2n-1=??2??2…?

?2??4??2n?

1

当n=1时,T1=;4

当n≥2时,

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