发布时间 : 星期六 文章傅里叶级数及其应用更新完毕开始阅读
引 言
在五千年的数学历史长河中，傅里叶级数的诞生和发展，构成了数学史上非常重要的部分.在无法进行理论证明时，采用直观推断的研究方法在早期的科学研究中已被广泛应用.由此带来了许多重要发现，傅里叶级数就是其中之一.
傅里叶在研究热传导方程时继承了前人研究天文理论和弦震动方程的方法，直观地断定每一个周期函数都可以表示为三角级数，但他并没有给出一个函数可以展开为三角级数的条件，也没有给出严格的证明.尽管如此，傅里叶将、欧拉、黎曼等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展为内容丰富的一般理论，从而开创了数学物理学的一个时代.
在当代，傅里叶级数在物理学、计算机、移动通信等学科具有非常广泛的应用，同时也是处理工程学中诸多问题不可或缺的理论工具.在图案设计中，通过傅里叶级数的变换，可以设计出许多精美的图案.在铁路客运量预测中，通过傅里叶级数预测法，可以为铁路部门安排车次提供可靠的理论依据.所以，探究傅里叶级数的起源发展及其应用，对于培养学生抽象思维和创新意识具有重要作用.
1
1 傅里叶级数的起源
1753年，伯努利，提出了采用三角级数解弦振动方程的方法.1759年，拉格朗日，在给达朗贝尔的信中称x可以表示为三角级数.1777年，欧拉在研究天文问题时得到
a0??k?x? f?x????akcos?（1） ?
2k?1?l?32?0,m?n?llm?xn?x?coscosdx??,m?n?0 ?0ll?2??l,m?n?0因此推出了 ak?观察此式的结果可知：
（1）除了因缺少正弦项而只能表示周期为l的偶函数，欧拉得到的三角级数与今天我们使用的傅里叶级数已经没有区别.
（2）欧拉推出级数系数的方法运用三角函数的正交性，这正是现在“信号与系统”课程在推导傅里叶系数公式时所采取的方法.
尽管欧拉已经得到了类似傅里叶级数的表达式，他所采取的推导级数系数的方法我们今天仍在使用.然而，他与拉格朗日及达朗贝尔却始终坚持这样的观点：并非是任意的周期函数都可以表示为三角函数.
十九世纪，傅里叶迈出了重要的一步.傅里叶像他同时代的科学家一样，也从事热传导的研究.他在解如下偏微分方程：
2l?k?x?fxcos????dx， ?0l?l??2T?2T?2T2?T ???a?x2?y2?z2?t时得到，初始条件T?x,0??f?x?必须有
?k?x?f?x???bksin??
l??k?1?于是，傅里叶面临这样的问题：f?x?能表示成三角级数吗？特别是bk能确定吗？不
2
妨取l??，上式简化为
f?x???bksinkx
k?1?傅里叶把等式左边f?x?和右边的sinkx展开为幂级数，经过并不严格的推导得到
bk?2??f?x?sinkxdx
0?傅里叶敏锐的观察到，bk???2?0f?x?sinkxdx就是函数
2?f?x?sinkx在区间?0,??上的面积，而计算面积对相当广泛的函数都有意义.因此他得出结论：每一个周期函数都可表示为
f?x???bksinkx，0?x??
k?1?然而，这个结论却不为当时大多数科学家接受，傅里叶仍坚信自己的结论.随后他得到了更精确的结论，即对于任意周期函数，在周期区间???,??上都可以表示为
a0? f?x????(akcoskx?bksinkx),???x?? （2）
2k?1傅里叶从没有给出“任意”函数可以这样表示的一个完全的证明，也没有说出一个函数可以展开为三角级数所必须满足的条件，但他对此是坚信的.1807年，傅里叶提交的论文被巴黎科学院拒绝了，论文评委之一的Lagrange坚决否认周期函数可以展开为三角级数，并批评了该论文缺乏严密性.事实上，傅里叶始终没有能在他的论文中对傅里叶级数理论做出严格的证明.经过15年的抗争，直到拉格朗日离世9年后的1822年，他终于出版了专著《热的解析理论》，直到此时人们才勉强地承认他的思想.
我们可以列出傅里叶在方法上存在的缺陷.比如傅里叶在求级数系数时采用的方法不够严密，并且比欧拉所采用的运用三角函数的正交性质的方法要复杂得多.尽管存在一些缺陷，傅里叶得到了正确的结论.傅里叶的结论展示了强大的生命力，对数学的发展也产生了深远的影响，这是傅里叶本人及其同时代人都难以预料到的，而且这种影响至今还在发展之中.
（1）傅里叶级数促进了偏微分方程理论的发展，成功的解决了关于弦振动问题
3
的解的争论；
（2）傅里叶级数促进了函数概念的发展，傅里叶级数理论的先驱者们认为函数必须由一个解析表达式表示；
（3）傅里叶级数标志人们从解析函数或可发展成泰勒级数的函数中解放出来.泰勒级数仅在函数的解析点附近表示该函数，而傅里叶级数在一整段上表示一个函数.
4