发布时间 : 星期日 文章初中数学竞赛专题培训(9):一元二次方程更新完毕开始阅读
初中数学竞赛专题培训 第九讲 一元二次方程
一元二次方程是中学代数的重要内容之一,是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础,其内容非常丰富,本讲主要介绍一元二次方程的基本解法.
方程ax2
+bx+c=0(a≠0)称为一元二次方程.
一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法.
对于方程ax2
+bx+c=0(a≠0),△=b2
-4ac称为该方程的根的判别式.当△>0时,方程有两个不相等的实数根,即
当△=0时,方程有两个相等的实数根,即
当△<0时,方程无实数根.
分析 可以使用公式法直接求解,下面介绍的是采用因式分解法求解.
因为
所以
例2 解关于x的方程:
x2-(p2+q2
)x+pq(p+q)(p-q)=0. 解 用十字相乘法分解因式得 [x-p(p-q)][x-q(p+q)]=0, 所以x1=p(p-q),x2=q(p+q).
例3 已知方程(2000x)2
-2001×1999x-1=0的较大根为a,方
程x2
+1998x-1999=0的较小根为β,求α-β的值.
解 由方程(2000x)2
-2001×1999x-1=0得
(20002
x+1)(x-1)=0,
(x+1999)(x-1)=0,
故x1=-1999,x2=1,所以β=-1999.所以
α-β=1-(-1999)=2000.
例4 解方程:(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1).
分析 本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1),将方程变
为
3x-1=4x+1,
所以x=-2,这样就丢掉了x=1这个根.故特别要注意:用含有未知数的整式去除方程两边时,很可能导致方程失根.本题正确的解法如下.
解 (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0, (x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0, (x-1)(x+2)=0, 所以 x1=1,x2=-2.
例5 解方程:x2
-3|x|-4=0.
分析 本题含有绝对值符号,因此求解方程时,要考虑到绝对值的意义.
解法1 显然x≠0.当x>0时,x2
-3x-4=0,所以x1=4,x2=-1(舍去).当x<0时,x2
+3x-4=0,所以x3=-4,x4=1(舍去). 所以原方程的根为x1=4,x2=-4.
解法2 由于x2=|x|2
,所以
|x|2
-3|x|-4=0,
所以 (|x|-4)(|x|+1)=0,
所以 |x|=4,|x|=-1(舍去).
所以 x1=4,x2=-4.
例6 已知二次方程 3x2
-(2a-5)x-3a-1=0
有一个根为2,求另一个根,并确定a的值.
解 由方程根的定义知,当x=2时方程成立,所以 3×22-(2a-5)×2-3a-1=0,
故a=3.原方程为
3x2
-x-10=0,即(x-2)(3x+5)=0,
例7 解关于x的方程:ax2
+c=0(a≠0).
分析 含有字母系数的方程,一般需要对字母的取值范围进行讨论.
当c=0时,x1=x2=0;
当ac>0(即a,c同号时),方程无实数根. 例8 解关于x的方程:
(m-1)x2
+(2m-1)x+m-3=0.
分析 讨论m,由于二次项系数含有m,所以首先要分m-1=0与m-1≠0两种情况(不能认为方程一定是一元二次方程);当m-1≠0时,再分△>0,△=0,△<0三种情况讨论. 解 分类讨论.
(1)当m=1时,原方程变为一元一次方程
x-2=0,
所以x=2.
(2)当m≠1时,原方程为一元二次方程.
△=(2m-1)2
-4(m-1)(m-3)=12m-11.
例9 解关于x的方程: a2
(x2
-x+1)-a(x2
-1)=(a2
-1)x.
解 整理方程得
(a2
-a)x2
-(2a2
-1)x+(a2
+a)=0.
(1)当a2
-a≠0,即a≠0,1时,原方程为一元二次方程,因
式分解后为
[ax-(a+1)][(a-1)x-a]=0,
(2)当a2
-a=0时,原方程为一元一次方程,当a=0时,x=0;当a=1时,x=2.
例10 求k的值,使得两个一元二次方程
x2+kx-1=0,x2
+x+(k-2)=0
有相同的根,并求两个方程的根.
解 不妨设a是这两个方程相同的根,由方程根的定义有 a2
+ka-1=0, ① a2+a+(k-2)=0. ②
①-②有 ka-1-a-(k-2)=0, 即 (k-1)(a-1)=0, 所以k=1,或a=1.
(1)当k=1时,两个方程都变为x2
+x-1=0,所以两个方程有两个相同的根
没有相异的根;
(2)当a=1时,代入①或②都有k=0,此时两个方程变为
x2
-1=0,x2
+x-2=0.
解这两个方程,x2
-1=0的根为x2
1=1,x2=-1;x+x-2=0的根为x1=1,x2=-2.x=1为两个方程的相同的根. 例11 若k为正整数,且关于x的方程
(k2-1)x2
-6(3k-1)x+72=0
有两个不相等的正整数根,求k的值. 解 原方程变形、因式分解为 (k+1)(k-1)x2
-6(3k-1)x+72=0,
[(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0,
即
4,7.所以k=2,3使得x1,x2同时为正整数,但当k=3时,x1=x2=3,
与题目不符,所以,只有k=2为所求.
例12 关于x的一元二次方程x2
-5x=m2
-1有实根a和β,且|α|+|β|≤6,确定m的取值范围.
解 不妨设方程的根α≥β,由求根公式得
|α|+|β|=α+β=5<6,
符合要求,所以m2
≤1.
例13 设a,b,c为△ABC的三边,且二次三项式x2
+2ax+b2
与x2
+2cx-b2
有一次公因式,证明:△ABC一定是直角三角形. 证 因为题目中的两个二次三项式有一次公因式,所以二次方程x2
+2ax+b2
=0与x2
+2cx-b2
=0必有公共根,设公共根为x0 ,则
两式相加得
若x0=0,代入①式得b=0,这与b为△ABC的边不符,所以公共根x0=-(a+c).把x0=-(a+c)代入①式得
(a+c)2
-2a(a+c)+bg2=0,
整理得
a2
=b2
+c2
所以△ABC为直角三角形.
例14 有若干个大小相同的球,可将它们摆成正方形或正三角形,摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球,求球的个数.
解 设小球摆成正三角形时,每边有x个球,则摆成正方形时每边有(x-2)个球.此时正三角形共有球
此时正方形共有(x-2)2
个球,所以
即 x2
-9x+8=0, x1=1,x2=8.
因为x-2≥1,所以x1=1不符合题意,舍去.所以x=8,此时共有球(x-2)2=36个.
练 习 九
1.解方程:
(2)20x2+253x+800=0;
(3)x2
+|2x-1|-4=0.
2.解下列关于x的方程:
(1)abx2
-(a4
+b4
)x+a3b3
=0;(2)(2x2
-3x-2)a2
+(1-x2
)b2
=ab(1+x2
).
3.若对任何实数a,关于x的方程x2
-2ax-a+2b=0都有实数根,求实数b的取值范围.
4.若方程x2
+ax+b=0和x2
+bx+a=0有一个公共根,求(a+b)2
000
的值.
5.若a,b,c为△ABC的三边,且关于x的方程
4x2
+4(a2
+b2
+c2
)x+3(a2b2
+b2c2
+c2a2
)=0有两个相等的实数根,
试证△ABC是等边三角形.