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第一讲 欧氏几何公理体系
目录
一、几何概述 P1
二、公理化方法的内涵与意义 P1 三、欧几里得《几何原本》简介 P2 四、完备化的希尔伯特公理体系 P5 五、中学几何公理系统 P8
一、几何概述
二、公理化方法的内涵与意义 1．什么是公理化方法
公理化方法是“从某些基本概念和基本命题出发，依据特定的演绎规则，推导一系列的定理，从而构成一个演绎系统的方法。”
一般由4部分组成： (1) 原始概念的列举 (2) 定义的叙述 (3) 公理的列举
(4) 定理的叙述和证明
4个部分不是独立地叙述和展开，而是相互交叉、相互渗透、相互依赖地按照逻辑原则演绎和展开的。原始概念和公理决定几何体系的基础，不同的基础决定不同的几何体系。如欧氏几何、罗氏几何等。原始概念包含原始元素(图形)和原始关系两类．原始元素如点、直线和平面等，原始关系如结合关系、顺序关系、合同关系等。原始概念没有定义，但它们的属性隐含在公理中，如平面的属性，中学给出三个公理：
◆ 一直线上的两点在一个平面内，则直线上所有点都在平面内； ◆ 两平面有一公共点，则它们有且仅有一条过公共点的直线； ◆ 过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。
公理是“在一个系统中已为反复实践所证实而被认为不需要证明的真理，具有自明性.”。一般来说，公理被人们普遍接受，无须证明，但后来发现，有些公理并非十分显然，
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如第五公设。因此，人们选用某些命题作为一种演绎推理的出发点，并非一定要自明，只要大家能接受就行，实质在于符合经验。
2．公理系统的三个基本问题 (1) 相容性 (无矛盾性)
若由公理系统不能推出两个矛盾的命题，则称该公理系统是相容的。靠演绎推理的方法证明系统(∑)的无矛盾性是不可能的，因为无论推出多少个命题没有出现矛盾，也不可能保证继续推下去保证永远不会发生矛盾。要证明无矛盾性，数学上用解释(即作模型)的方法。先找一个模型M，使M的事物与∑的命题形成一一对应关系，我们先确定M的事物是存在的，或假设它是存在的，后一情况，我们只证明了公理系统在M存在的条件下是无矛盾的，即∑相容是有条件的，如欧氏几何的相容性归结为自然数的皮亚诺公理的相容性，而它又归结为集合的相容性，而集合的无矛盾性至今也没有解决。
(2) 独立性(公理数量最少问题)
确定∑中每个公理是必要的，不是多余的，不能由其它公理导出，保证公理是最少个数问题。解决起来很困难，如第五公设。在实际教学中，从学生的现有知识水平出发，为了提高教学效率，故意多列一些公理，便于论证。
(3) 完备性(公理个数最大化问题)
公理个数尽可能多，保证每个定理均能推出。《几何原本》所列的公理是不够的，证明中借助了几何直观和其它默契，如无顺序性等。公理的完备性相当复杂，到目前为止，希尔伯特在《几何基础》中才将欧氏几何的公理完备性解决。一般地，多数数学理论是以不完备的公理系统为基础的，如群论(存在不同构的群)。对于一个∑，要求必须是相容的，最好是独立的，，是否完备则视需要而定。
3．公理化方法的意义和作用
关于公理化思想方法的作用，徐利治归结为以下4点：
◆ 这种方法具有分析、总结数学知识的作用。凡取得了公理结构形式的数学，由于定理和
命题均已按逻辑演绎关系串联起来，故使用起来也较方便。
◆ 公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性不
同，并能促使和推动新理论的创立。
◆ 数学公理化方法在科学方法上有示范作用。这种方法对现代理论力学及各门自然科学理
论的表述方法都起到了积极的借鉴作用。例如，19世纪40年代波兰的Banach曾完成了理论力学的公理化；而物理学家亦把相对论表述为公理化形式??
◆ 公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性和结构的和谐性确实符合美学的要求，因而
为数学活动中贯彻审美原则提供了范例。
三、欧几里得《几何原本》简介
欧几里得是柏拉图的学生，以其《几何原本》闻名于世，但身世不详，没有哪位伟人能象他那样声誉持久。其贡献在于对前人的材料加以整理，并在书中作了系统阐述，于公元前
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300年完成《几何原本》。本人是一个温和敦厚的教育家，受托勒密一世之邀，长期在亚历山大城进行教学和研究工作。他反对学数学投机取巧，也反对狭隘的实用观点。一次，托勒密问他有无学习几何的捷径，回答说：“在几何里，没有专为国王铺设的大道。”成为千古传诵的学习箴言。又一个学生问学习几何后能得到什么，欧几里得回答说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获得实利。”
《几何原本》先以手抄本流传，在有印刷术后，先后有1000多种版本，在西方是仅次于《圣经》的出版量最多的书，其影响之深远，以致使欧几里得和几何学成了同义词。
1．《几何原本》简介
《几何原本》由希腊数学家欧几里得﹝Euclid，公元前300年前后﹞所著，是用公理方法建立演绎数学体系的最早典范。是至今流传最广、影响最大的一部世界数学名著。
《几何原本》共13卷。每卷﹝或几卷一起﹞都以定义开头。
第—卷 首先给出23个定义，摘要列举如下：
(1)点没有大小．
(2)线有长度没有宽度； (3)线的界是点．
(4)直线是与其上的点看齐的线． (5)面只有长度和宽度． (6)面的界是线．
(7)平面是与其上的直线看齐的面．
(8)平面角是平面上两相交直线的倾斜度．
(15)圆是包围在一(曲)线里的平面图形，使从其内某一点到该线的所有直线段彼此相等． (16)于是那一点便叫做圆的中心(简称圆心)．
(23)平行直线是这样的一些直线，它们在同一平面内，而且往两个方向无限延长时，在两个方向上都不会相交．
接着给出五条公设：
I．从每个点到另一点可引直线． II．每一直线都可无限延长．
III．以任意点为中心可用任意半径作圆． Ⅳ．所有直角彼此相等．
V．(在同一平面内)如果两条直线与第三条直线相交，某一侧的两个内角之和小于二直角，则把两条直线向该侧充分延长后一定相交． 接着给出五条公理：
I．等于同一量的量相等． II．等量加等量其和相等． Ⅲ．等量减等量其差相等． Ⅳ．彼此重合的量相等． V．整体大于部分．
这里，欧几里得把公设看成仅适于几何的公理，把公理看成既适用于算术又适用于几何．现在的几何学把两者都称为公理，不再区分公设和公理，而后五条算术公理一般不再明文列出．
第一卷的后面提出49个命题和证明等论述，讨论有关平行线的判别和性质，三角形的全等和边角关系，垂线、平行四边形、多边形面积和勾股定理等．
第二卷 本卷编写的是用几何方法研究代数恒等式，即几何中的代数．共提出14个命题，其中包括线段的计算，黄金分割，多边形变形为等积正方形等．
第三卷 本卷编写了与圆有关的定理，共提出37个命题．其中有关于弦、圆心角、圆周角、
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切线、割线、圆幂等定理，这些就是现在中学几何中所提出的定理，证法也基本相同．
第四卷 本卷编写了圆的内接和外切多边形的性质，以及正多边形的作图等，最后一个命题是作圆的内接正十五边形，共提出16个命题．
第五卷 本卷编写了比例论，是在欧多克斯研究成果的基础上发展而成的．欧几里得首先给出同类的两个量之比，四个量成比例等定义，提出更比、反比、合比、分比等性质，共提出25个命题．
第六卷 本卷编写了相似形理论，以及求作一些比例量的作图，共提出33个命题．大部分和现行中学几何教材一致，其中第31命题是毕达哥拉斯定理的推广．
第七、八、九卷 是有关数论的知识，讨论了整数及整数比的性质，是纯粹讨论数的，其论证不依赖于几何．
第十卷 本卷叙述了整数开平方的几何运算，以及对无理数度量的分类，共提出115个命题．
第十一到十三卷编写的是立体几何，以及求面积、体积的“穷竭法”．
第十一卷 叙述了立体几何的基本定理，包括空间点、直线、平面相互位置关系的一系列定理；关于多面角的理论；相似立体形、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等概念和性质．其中大部与现行中学立体几何课本的内容相同．
第十二卷 本卷编写了几何体的表面积和体积的有关定理，包括曲线和曲面所围成的形体的面积和体积．集中研究了欧多克斯研究过的“穷竭法”．本卷共提出18个命题．
所谓“穷竭法”，举例说，为证明两圆面积之比等于其直径平方之比，可以通过圆的内接正多边形，当边数不断增加时，正多边形的面积逐渐接近圆的面积，而定理对正多边形成立，就证明它对圆也成立．“穷竭”一词起因于相继作圆的内接多边形，当边数无限增多时，穷竭了圆的面积，不过欧几里得避开了极限的概念．欧几里得把这种方法推广到求空间图形的体积上．
第十三卷 编写了正多边形本身的性质及内接于圆的性质、球的内接正多面体的性质和作图，以及确定五种类型正多面体等．共提出19个命题．
正多面体不能多于五种的证明，是根据第十一卷命题21“多面角各面角之和小于360°”来完成的．假设正多面体各面都是正三角形时，当时每个顶点都有三个正三角形时，则正四面体;当过每个顶点都有四个正三角形时，则得正八面体；当过每个顶点都有五个正三角形时，则得正二十面体．过每个顶点不能有六个以上的正三角形，因为这时多面角之和就要等于或者大于360°．假设正多面体的面都是正方形，过每个项点的正方形只能有三个，这便是正六面体；假设正多面体的面都是正五边形，过每个顶点只能有三个正五边形，这便是正十二面体．此外再不能有其他情形了。
2．《几何原本》的伟大贡献
《几何原本》内容是相当丰富的．我们说《几何原本》是一部不朽的经典著作，可以举出很多事例，但归纳起来主要有三个方面： 第一，从科学和数学本身来看，它是历史上第一部真正的、系统的数学科学理论著作．它把公元前3世纪以前所积累的经验几何和早期推理几何的庞大的几何知识，加工整理成理论体系，为后来几何发展奠定了坚实的基础．实际证明，它是几何学发展的一个重要的里程碑，是人类文明遗产中的瑰宝．
第二，从科学方法论的角度来看，欧几里得吸取了亚里士多德的关于建立科学理论的思想，总结了古希腊各个学派对几何学方法的研究成果，在《几何原本》中确立了古典公理化方法．《几何原本》从少数基本概念和公理出发，运用形式逻辑的原理，把几何学编排成由概念、公理、命题组成的演绎体系．他的思想方法和示范性的工作，为几何学的研究开创了
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