发布时间 : 星期日 文章高考数学真题分类汇编 考点19 平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及向量坐标运算 理(含更新完毕开始阅读
考点19 平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及向量坐标运
算
一、选择题
1.（2013·辽宁高考文科·Ｔ3）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ3）相同
uuur已知点A(1,3),B(4,?1),则与向量AB同方向的单位向量为（ ）
A.34(,?)5534(?,)55B.43(,?)55
C.D.43(?,)55【解题指南】利用向量的坐标运算和单位向量的定义求解.
uuuruuuruuur22【解析】选A. 由点A(1,3),B(4,?1)得向量AB?(3,?4),AB?3?(?4)?5，则与向量AB同方
uuurAB(3,?4)34?(,?). 向的单位向量为uuur?555ABrrrr2. （2013·广东高考文科·Ｔ10）设a是已知的平面向量且a?0，关于向量a的分解，有如下四
个命题：（ ）
rrrrr①给定向量b，总存在向量c，使a?b?c；
rrrrr②给定向量b和c，总存在实数?和?，使a??b??c；
rrrrr③给定单位向量b和正数?，总存在单位向量c和实数?，使a??b??c； rrrrr④给定正数?和?，总存在单位向量b和单位向量c，使a??b??c； rrr上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
【解题指南】本题考查平面向量的加减运算、平面向量基本定理、平面向量的几何意义等知识，可逐一检验.
【解析】选B.利用向量加法的三角形法则，易得①是真命题；利用平面向量的基本定理，易得②
ur?是真命题；以a的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量?b有交点，这个不一定能满足，③是
urrrr假命题；由向量加法的三角形法则（不共线两边的和大于第三边），即?b??c=?+??a，而给
1
定的?和?不一定满足此条件，所以④是假命题.
3.（2013·湖北高考文科·Ｔ7）与（2013·湖北高考理科·Ｔ6）相同
已知点A（－1，1）、B（1,2）、C（－2,1）、D（3,4），则向量AB在CD方向上的投影为（ ）
A.
3231532315 B. C. －D.－ 2222【解题指南】考查了投影与数量积的关系。
uuuruuuruuur【解析】选A.AB??2,1?,CD??5,5?,CD?25?25?52; 则向量AB在向量CD方向上的投影为uuuruuuruuuruuuruuur?CD(2,1)?(5,5)2?5?1?532.
ABcos?AB,CD???AB??uuur?22252CD5?5rr4.（2013·陕西高考文科·Ｔ2）已知向量a?(1,m),b?(m,2)( ) A． ?2 B. 2
C. ?2或2 D. 0
, 若a//b, 则实数m等于
【解题指南】根据条件建立关于m的方程，求解即得.
【解析】选C. 因为a?(1,m),b?(m,2),且a//b,所以1?2?m?m?m??2. 二、填空题
5.（2013·四川高考文科·Ｔ12）【备注：（2013·四川高考理科·Ｔ12）与之相比少图，其他相同】
uuuruuuruuur如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB?AD??AO，则??____________。
DOA【解题指南】根据向量的平行四边形法则求解.
CB
uuuruuuruuuruuuruuur【解析】在平行四边形ABCD中，AB?AD?AC，而AC?2AO，所以??2
【答案】2
6. （2013·天津高考理科·Ｔ12）在平行四边形ABCD中, AD = 1, ?BAD?60?, E为CD的中点. uuuruuurBE?1, 则AB的长为 . 若AC·uuuruuuruuuruuuuuuruuurrAD,ABBE?1求AB的【解题指南】根据向量的加法及平面向量的基本定理由表示AC,BE，再AC·
2
长.
【解析】
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur1uuuruuur1uuur因为AC?AB?AD,BE?BA?AD?DE??AB?AD?AB?AD?AB,
22uuuruuuruuuruuuruuur1uuuruuur21uuuruuur1uuur2所以AC·BE?(AB?AD)?(AD?AB)?AD?AD?AB?AB
222uuurr211uuu?1??1?ABcos60??AB?1,
22r1uuur2uuur11uuu所以AB?AB?0,解得AB?.
422【答案】
1 212AB，BE?BC,237. (2013·江苏高考数学科·T10)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点, AD?uuuruuuruuur若DE??1AB??2AC (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 .
uuuruuuruuur【解题指南】利用向量加法的三角形法则,将DE转化为AB与AC和的形式.
,则λ1+λ2的值
uuuruuuruur1uuur2uuur1uuur2uuuruuurur2uuur1uu【解析】由DE?DB?BE?AB?BC?AB?(AC?AB)??AB?AC2323631为. 21【答案】
28.(2013·江苏高考数学科·T13) 在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a,a)，P是函数y?
1x
（x?0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为 【解题指南】设点利用两点间的距离公式,换元,讨论求最值. 【解析】设P(m,1)(m?0)由两点间的距离公式得 m1?a)2m
|PA|?(m?a)2?(11?m2?()2?2a(m?)?2a2mm?(m?121)?2a(m?)?2a2?2mm令t?m?1?2得|PA|?t2?2at?2a2?2?(t?a)2?a2?2.若ma≥2,则当t=a时,
|PA|min?a2?2?22?a?10,解得a?10或a??10 (舍去);若a<2,则当t=2时,
3
|PA|2min?(2?a)2?a2?2?2a2?4a?2?8?a??1,解得a=-1或a=3(舍去).
【答案】-1, 10 rrrrrr9.(2013·北京高考理科·T13)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c??a??b (λ,μ
∈R),则
?= . ?
【解题指南】建立直角坐标系,写出三个向量的坐标,利用解方程组的方法解出λ,μ.
rrr【解析】以向量a,b 的交点为原点,正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系,则a = rrrrr(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3),根据c??a??b得(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),即
得λ=-2,μ=?【答案】4
10.（2013·北京高考文科·Ｔ14）已知点A（1，-1），B（3，0），C（2，1）.若平面区域D由
解
1?,所以?4. 2?uuuruuuruuur所有满足AP??AB??AC（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为__________.
【解题指南】代入向量的坐标，得到关于?,?的方程组，在直角坐标系下作出对应的区域，再求出面积。
21???x?y?1??x?1?2????33所以?【解析】设P(x,y)，则(x?1,y?1)??(2,1)??(1,2)，，解得?，
y?1???2?12?????x?y?1?33?1?21?x?y?1?2??3?2x?y?3?6?33所以?,即?。
?0??1x?2y?1?1?0??x?2y?3?3?33?在平面直角坐标系中作出区域D，可求得面积为3. 【答案】3
4