发布时间 : 星期一 文章高中教材变式题2：二次函数更新完毕开始阅读
2当x?0时，y??x?2x?3???x?1??4， 2当x?0时，y??x?2x?3???x?1??4．
22y
作出函数图像，由图像可得单调区间．
在???,?1?和?0,1?上，函数是增函数；在??1,0?和?1,???上，函数是减函数． 变式2： 解：若a?1,b?1,则f(x)?|x2?2x?1|?x2?2x?1，显然不是偶函数，所以①是不正确的；
若a??1,b??4,则f(x)?|x2?2x?4|，满足f(0)?f(2)，但f(x)的图像不关于直线x=1对称，所以②是不正确的；
2若a?b?0，则f(x)?|x2?2ax?b|?x2?2ax?b，图像是开口向上的抛物线，其
O x
对称轴是x?a，∴f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数，即③是正确的；
显然函数f(x)?|x?2ax?b|?x?R?没有最大值，所以④是不正确的．
22??x?bx?c,x?0变式3： 解：f(x)?x|x|?bx?c??2，
???x?bx?c,x?0(1)当c=0时，f(x)?xx?bx，满足f(?x)??f?x?，是奇函数，所以①是正确的；
2??x?c,x?0(2)当b=0，c>0时，f(x)?xx?c??2，
???x?c,x?0?x2?c?0??x2?c?0方程f(x)?0即? 或? ，
x?0x?0???x2?c?0??x2?c?0显然方程?无解；方程?的唯一解是x??c ，所以② 是正确
?x?0?x?0的；
(3)设
?x0,y0?是函数f(x)?x|x?|图像b?xc上的任一点，应有
y0?x0|x0|?bx0?c，
而该点关于（0，c）对称的点是??x0,2c?y0?，代入检验2c?y0??x0|x0|?bx0?c即?y0??x0|x0|?bx0?c，也即y0?x0|x0|?bx0?c，所以??x0,2c?y0?也是函数图像上的点，所以③是正确的； f(x)?x|x|?bx?c(4)若b??1,c?0，则f(x)?x|x|?x，显然方程x|x|?x?0有三个根，所以④ 是不正确的．
7．（北师大版第54页A组第6题）值域
变式1： 解：作出函数f(x)??2x?6x??2?x?2?的图象，容易发现在??2,?上
22??3??是增函数，在?,2?上是减函数，求出f(?2)??20，f(2)?4，f()??3?2??329，注意到函2数定义不包含x??2，所以函数值域是??20,?．
2??9??变式2：解：∵ y= cos2x+sinx=－2sin2x+sinx+1，令t= sinx ? [－1,1]，
则y=－2t2+t+1，其中t? [－1,1]，
99
∴y ? [－2, ]，即原函数的值域是[－2, ]．
88变式3： 解：(I) ∵ f (1 + x) = f (1－x)， b
∴ － = 1，
2a
又方程 f (x) = x 有等根 ? a x 2 + (b－1) x = 0 有等根，
1
∴ △= (b－1) 2 = 0 ? b = 1 ? a = － ，
21
∴ f (x) = － x 2 + x．
2
(II) ∵ f (x) 为开口向下的抛物线，对称轴为 x = 1， 1? 当 m≥1 时，f (x) 在 [m,n] 上是减函数，
1
∴ 3m = f (x)min = f (n) = － n 2 + n (*)，
2
1
3n = f (x)max = f (m) = － m 2 + m，
2
1
两式相减得：3 (m－n) = － (n 2－m 2) + (n－m)，
2∵ 1≤m < n，上式除以 m－n 得：m + n = 8， 代入 (*) 化简得：n 2－8n + 48 = 0 无实数解． 2? 当 n≤1 时，f (x) 在 [m,n] 上是增函数，
1
∴ 3m = f (x)min = f (m) = － m 2 + m，
2
1
3n = f (x)max = f (n) = － n 2 + n，
2
∴ m = －4，n = 0．
3? 当 m≤1≤n 时，对称轴 x = 1 ? [m,n]，
11
∴ 3n = f (x)max = f (1) = ? n = 与 n≥1 矛盾．
26
综合上述知，存在 m = －4、n = 0 满足条件．
8．（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题
变式1： 解：(I) 函数 f (x) 的定义域为 R，即不等式a x 2 + 2x + 1 > 0 的解集为 R，
? a > 0
∴应有 ? ? a > 1，
? △= 4－4a < 0
∴ 实数 a 的取值范围是(1,+?) ．
(II) 函数 f (x) 的值域为 R，即a x 2 + 2x + 1 能够取 (0,+?) 的所有值．
1? 当 a = 0 时，a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1满足要求；
? a > 0
2? 当 a ≠ 0 时，应有? ? 0 < a≤1．
? △= 4－4a ≥0∴ 实数 a 的取值范围是[0,1] ．
变式2： 解法一：(转化为最值)
f(x)?2在??2,2?上恒成立，即f(x)?x2?ax?1?a?0在??2,2?上恒成立．
⑴??a?4?1?a??0， ??2?22?a??2?22；
2???a2?4(1?a)?0?f(2)?0??⑵?f(?2)?0，??5?a??22?2． ???a?2或?a??2??22综上所述?5?a?22?2． 解法二：（运用根的分布） ⑴当?在；
a5??2，即a?4时，应有g(a)?f(?2)?7?3a?2， 即a?，?a不存23aa2a?a?3?2， ⑵当?2???2，即?4?a?4时，应有g(a)?f(?)??224即－22?2?a?22?2，??4?a?22?2；
a?2，即a??4时，应有g(a)?f(2?)2??5?a??4
⑶当?综上所述?5?a?22?2．
?7a?，2即a??5 ，
变式3： 证明：(I) 依题意，f (sin ) = f (1)≥0，f (2 + cos ?) = f (1)≤0，
2
∴ f (1) = 0 ? 1 + b + c = 0 ? b + c = －1， (II) 由 (I) 得： f (x) = x 2－(c + 1) x + c (*)
∵ f (2 + cos ? )≤0 ? (2 + cos ? ) 2－(c + 1) (2 + cos ? ) + c≤0
? (1 + cos ? ) [c－(2 + cos ? )]≥0，对任意 ? 成立．
∵ 1 + cos ? ≥0 ? c≥2 + cos ? ， ∴ c≥(2 + cos ? )max = 3．
(III) 由 (*) 得：f (sin ? ) = sin 2?－(c + 1) sin ? + c，
设 t = sin ? ，则g(t) = f (sin ? ) = t 2－(c + 1) t + c，－1≤t≤1，
c + 1
这是一开口向上的抛物线，对称轴为 t = ，
23 + 1
由 (II) 知：t≥ = 2，
2
∴ g(t) 在 [－1,1] 上为减函数．
∴ g(t)max = g(－1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8， ∴ c = 3
∴ b = －c－1 = －4．
9．（北师大版第54页B组第1题）根与系数关系
变式1： 解：二次函数y?ax2?b与一次函数图象y?ax?b交于两点(o,b)、
?(1,a?b)，由二次函
数图象知a,b同号，而由B,C中一次函数图象知a,b异号，互相矛盾，故舍去B,C．
又由a?b知，当a?b?0时，?b??1，此时与A中图形不符，当0?a?b时，a?b??1，与D中图形相符． a22： 解：原命题可变为：求方程mx?3?x?5mx?4m，
变式
mx?3?x2?(2m?1)x?m2?3，
mx?3?x2?3mx?2m?3中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程
均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的m的值，即得所求．
?(4m)2?4(?4m?3)?0,?322解不等式组?(m?1)?4m?0,得 ??m??1，
2?4m2?4(?2m)?0,?故符合条件的m取值范围是m??3或m??1． 2