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f:X?[0,1],使得当x?A时，f(x)?0,当x?B时，f(x)?1.证明：X是一个正规空间.
证明：设A,B是X的任意两个无交的闭集，由题意知存在一个连续映射f:X?[0,1],使得当x?A时，f(x)?0,当x?B时，f(x)?1.
设U?f?1([0,0.5)),V?f?1((0.5,1]),……………………………4分 易知U,V分别是A和B的开邻域且U?V??.从而间. ………………………………………………………………8分
22、证明T4空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集.
证明：设C是T4空间X中的一个连通子集，如果C不只包含一个点，任意选取x,y?C,x?y.对于T4空间X中的两个无交的闭集{x},{y}，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射
X是一个正规空
f:X?[0,1]，使得f(x)?0和f(y)?1.………………………………………4分
由于C是X的一个连通子集，从而f(C)连通，由于0,1?f(C)，
?所以f(C)[0，,由于[0,1]是一个不可数集，所以C也是一个不可数
集. ……………………………………………………………8分
23、X是T4空间，B为X的一个拓扑基，则对于每一个B?B及x?B,都有一个B1?B使得x?B1?B.
证明：X是T4空间，必为T1的正规空间，对任意x?X,{x}为闭集.
对于B?B且x?B,B就是{x}的一个开邻域.由于X为正规空间，必存在{x}的一个开邻域U,使得
U?B.……………………4分
U也是x的开邻域，一定存在一个B1?B ，使得 x?B1?U,且有B1?U，当然就有x?B1?B.………………………………8分
24、设X为Hausdorff空间 ,f:X?X是一个连续映射, 且
f?f?f．证明:
f(X)是X的闭集．
证明：对?x?X?f(X)，则f(x)?x，由于X是Hausdorff空间，存在x和f(x)的邻域U1,V，使得U1?V??.又因为f连续,故存在x的邻域U2,使得f(U2)?V,令U?U1?U2,则U是
x的邻域,且U?X?f(X).………………………………………………4分
事实上,若存在z?U使得z?f(X),即? y?X使得z?f(y).于是f(z)?f而f(z)?f(U)?V,
f(y)?f(y)?z,
这样,z?U?V?U1?V??,矛盾.所以U?X?f(X),即f(X) 是闭集. …………………………………………………………8分
25、设X是T1空间，A是X的至少含有两点的连通子集，则A一定是无 限集．
证明：若A为有限集，设a,b?A且a?b,由于X为T1空间，于是{a}与A-{a}就是X的闭集.且{a}?（A-{a}）=ф及A-{a}?ф,…4分
从而，A={a}?(A-{a}) ,故A不是X的连通子集.这与题设相矛盾，所以A必为无限集. ………………………………………………8分
26、如果拓扑空间的每一个紧致子集都是闭集，则X的每个收敛序列{xi} 的极限点唯一.
证明：因为单点集总是紧致子集，从而拓扑空间X的每一个单点集是闭集，故X是T1空间，若{xi}的极限点不唯一，不妨设收敛到a,b,a?b.易知X?{b}是包含a的开邻域,因此它包含序列{xi}的几乎所有项，也就是说{xi}只有有限项为b …………………………………4分
设A?{xn|xn?b}?{a},则A是紧致子集，从而是闭集.故A?是b的一个开邻域，它最多只能含{xi}的有限多项，从而b不是{xi}的极限点，矛盾.从而X的每个收敛序列{xi}的极限点唯一. ……………8分
27、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个连续映射.如果A是X的一个紧致子集，证明f(A)是Y的一个紧致子集.
证明：设C是f(A)的一个由Y中的开集构成的覆盖.对于任意C?C，f?1(C)是X中的一个开集，由于
c?CC?f(A),从而有：
f?1(C)?f?1(C?CC?CC)?f?1(f(A))?A
所以A={f?1(C)|C?C}是一个由X中的开集构成的A的覆盖.由于A是X的一个紧致子集，所以A 有一个有限子族，设为{f?1(C1),因为f?1,f?1(Cn)}覆盖A. …………………………………4分
从而C1??Cn)?A，
即{C?Cn?f(A)，,1,}Cn是
(C1)??f?1(Cn)?f?1(C1?C 的一个子族并且覆盖f(A)，因此f(A)是Y的一个紧致子集. ………………………………8分 28、设X是一个正则空间，A是X的一个紧致子集，Y?X.证明：如果A?Y?A,则Y也是X的一个紧致子集.
证明：设A是任意一个由X中的开集构成的Y的覆盖，因此A也是A的一个覆盖，由于A是X的紧致子集，从而A有有限个成员A1,?,An使得?Aii?1n?A. …………………………………4分
由于A是正则空间的紧致子集，从而A有一个开邻域U，使得U??Ai,从而有?Ai?A?Y,
i?1i?1nn从而A有有限子覆盖{A1,?,An}，因此Y是X的一个紧致子集. ………………8分 29、设X是一个正则空间，A是X的一个紧致子集.证明：A也是X的一个紧致子集.
证明：设A是任意一个由X中的开集构成的A的覆盖，因此A也是A的一个覆盖，由于A是X的紧致子集，从而A有有限个成员A1,?,An使得?Aii?1n?A. …………………………………4分
??Ai,从而有?Ai?A,从而
i?1i?1nn由于A是正则空间的紧致子集，从而A有一个开邻域U，使得UA有有限子覆盖{A1,?,An}，因此A是X的一个紧致子集. ………………………………8分 30、设X是一个Hausdorff空间，A 是它的一个非空集族，由X的紧致子集构成，证明：的一个紧致子集.
证明：对于任意A?A，易知A是一个闭集，从而集. ………………………………………………………4分 取A0?A，则有
A?AA?AA?AA是XA是X的一个闭
由于A0是紧致的，从而是A0的一个紧致子集，易知A?A0，
A?AA也是X的一个紧致子集. ………8分
Y是连续的一一对应，其中X是紧致空间，Y是一个Hausdorff空间，证明f:X?Y是31、设f:X?一个同胚映射.
证明：要证明f:X?Y是一个同胚映射， 只需证明f?1:Y?X连续，进而只需证明f是闭映射.设A是X的闭集，由X是紧致空间，从而A是X的一个紧致子集，故f(A)是Y的一个紧致子集，……4分
由于Y是一个Hausdorff空间，因此f(A)是Y的一个闭集，从而f是闭映射. …………………………………………………………8分
32、Y是拓扑空间X的子空间，A是Y的紧致子集，证明A是X的紧致子集.
证明：对于A的由X的开集构成的任一开覆盖A ，即A?B?A就有A =A?Y ?B,这样，
B?A(B?Y),
若令A?{B?Y|B?A} , A就是由Y的开集构成的A的一个开覆盖，……………………………3分 由于
~A是Y的紧致子集，必有有限的子覆盖B1?Y,B2?Y,......Bn?Y,即
A?i?1,2,...n?(Bi?Y)=(i?1,2,...,n?B)?Y,从而A??Bii?1,2,...,ni,于是{B1,B2,...,Bn}就是A的由X的开集构成的开
覆盖，且是A的一个子覆盖，故A为X的紧致子集. ………………………………………………………8分
33、Y是拓扑空间X的子空间，若A是X的紧致子集，证明A是Y的紧致子集.
证明：对A的任意由Y的开集构成的开覆盖B，即A?存在X的开集AB，使得B?AB?Y，
于是{AB|B?B,B?AB?Y}就是A的由X的开集构成的开覆盖，…3分 从而必有有限的子覆盖{AB1,AB2,......ABm}，即 A?Bij?1,2,...,mB?B?B,由于Y是X的子空间，对每一个B?B,必
?A，当然有
A?A?Y?(Bjj?1,2,...,m?A)?Y=
j?1,2,...,m?(ABj?Y)?j?1,2,...,m?Bj，
即 { B1,B2,...,Bm}为A的由Y的开集构成的有限开覆盖，
且为B的子覆盖。故A为Y的紧致子集. ………………………8分
34、设X是一个Hausdorff空间.如果A是X的一个不包含点x?X的紧致子集，则点x和紧致子集A分别有开邻域U,V使得U?V??.
证明：设A是X的一个紧致子集，x?A?.对于每一个y?A,由于X是一个Hausdorff空间，故存在
x的一个开邻域
Uy和
y的一个开邻域
Vy使得
Uy?Vy??. ………………………………………………4分
集族{ Vy|y?A }显然是由X中的开集构成的A的一个覆盖，它有一个有限子覆盖，设为
nn{ Vy1,Vy2,,Vyn}，令U?i?1Uyi和V?i?1Vy,它们分别是点x和A的开邻域，且易知
iU?V??. ……………8分
35、证明Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭子集.
证明：设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集，设对于任意x?A，有x和A的开邻域U和V使
得U?V??， …………………4分
)，故x?d(A)，所以d(A)?A，即从而U?(A?{x}??A是一个闭
集．………………………………………………………………8分
36、证明每一个紧致的Hausdorff空间都是正则空间．
证明：设A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集，x是X中不属于集合A的任意一点，由于紧致空间中的闭子集是紧致的，所以A是X的一个紧致子集，…………………………………………4分
从而点x和A分别有开邻域U和V使得U?V??，这说明X是一个正则空