发布时间 : 星期日 文章2015-2016学年天津市河北区八年级(上)期末数学试卷及答案更新完毕开始阅读
根据在同一三角形中等角对等边的原则可知，BE=ED，DF=FC，故EF=ED+DF=BE+CF．
【点评】本题综合考查等腰三角形的性质及平行线的性质；一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出相等的边，进而得出结论．进行等量代换是解答本题的关键．
20．如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ=3，PE=1． （1）求证：AD=BE； （2）求AD的长．
【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形． 【分析】（1）根据等边三角形的三条边都相等可得AB=CA，每一个角都是60°可得，∠BAE=∠ACD=60°，然后利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CAD=∠ABE，然后求出∠BPQ=60°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠PBQ=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BP=2PQ，再根据AD=BE=BP+PE代入数据进行计算即可得解． 【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=CA=BC，∠BAE=∠ACD=60°； 在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）， ∴AD=BE； （2）解：∵△ABE≌△CAD， ∴∠CAD=∠ABE，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°； ∵BQ⊥AD，
∴∠AQB=90°， ∴∠PBQ=90°﹣60°=30°， ∵PQ=3， ∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6， 又∵PE=1， ∴AD=BE=BP+PE=6+1=7．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记性质并求出BP=2PQ是解题的关键．
21．李老师家距学校1900米，某天他步行去上班，走到路程的一半时发现忘带手机，此时离上班时间还有23分钟，于是他立刻步行回家取手机，随后骑电瓶车返回学校．已知李老师骑电瓶车到学校比他步行到学校少用20分钟，且骑电瓶车的平均速度是步行速度的5倍，李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用4分钟． （1）求李老师步行的平均速度； （2）请你判断李老师能否按时上班，并说明理由． 【考点】分式方程的应用． 【分析】（1）设李老师步行的平均速度为xm/分钟，骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟，根据题意可得，骑电瓶车走1900米所用的时间比步行少20分钟，据此列方程求解；
（2）计算出李老师从步行回家到骑车回到学校所用的总时间，然后和23进行比较即可． 【解答】解：（1）设李老师步行的平均速度为xm/分钟，骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟， 由题意得，﹣=20， 解得：x=76， 经检验，x=76是原分式方程的解，且符合题意， 则5x=76×5=380，
答：李老师步行的平均速度为76m/分钟，骑电瓶车的平均速度为380m/分； （2）由（1）得，李老师走回家需要的时间为：
=12.5（分钟），
骑车走到学校的时间为： =5， 则李老师走到学校所用的时间为：12.5+5+4=21.5＜23， 答：李老师能按时上班．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（0，m）、B（n，0），且|m﹣n﹣3|+
=0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀
速运动，设点P的运动时间为t秒． （1）求OA、OB的长；
（2）连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；
（3）过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质． 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性质即可求得m、n的值，即可解题；
（2）连接PB，t秒后，可求得OP=6﹣t，即可求得S的值；
（3）作出图形，易证∠OBA=∠OPE，只要OP=OB，即可求证△EOP≌△AOB，即可求得t的值，即可解题． 【解答】解：（1）∵|m﹣n﹣3|+且|m﹣n﹣3|≥0，∴|m﹣n﹣3|=
≥0 =0，
=0，
∴n=3，m=6， ∴点A（0，6），点B（3，0）； （2）连接PB，
t秒后，AP=t，OP=|6﹣t|， ∴S=OPOB=|6﹣t|；（t≥0） （3）作出图形，
∵∠OAB+∠OBA=90°，∠OAB+∠OPE=90°， ∴∠OBA=∠OPE， ∴只要OP=OB，即可求证△EOP≌△AOB， ∴AP=AO+OP=9， ∴t=9．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△EOP≌△AOB是解题的关键．