发布时间 : 星期日 文章概率论与数理统计基础 - 图文更新完毕开始阅读
n11s???(?i??)2
n1?1i?121n21s???(?i??)2
n2?1i?122该定理主要用于两个正态总体的期望值有无差异的推断，或估计它们的期望值之差的场合。 4． F分布
设（ξ1、ξ2??ξn）与(η1、η2??ηn)是分别取自两个相互独立的正态总体ξ～N（μ1，?12）和η～N（μ2，?22）的样本，则统
s12/?12计量22服从第一自由度f1＝n1－1，第二自由度f2＝n2－1的F分
s2/?2布，记作
s12/?12F?22～F(n1－1，n2-1)
s2/?2其分布密度为
?n1?n2??(n1?n2)?nnn12121?1n122?()x(1?x)?nn2p(f1,f2)(x)???(1)?(n2)n2?22?0(x?0)??(x?0)
f1=n1-1, f2=n2-1 特别地,若?12??22 则有
s12F?2～F(n1-1,n2-1)
s2F变量用于两个正态总体方差异同的检验。
1.3 参数估计
数理统计的基本任务是以样本为依据来推断总体的统计规律性。在实际工作中，我们会遇到两个方面的问题：
1.通过实践或理论上的推导，大体上掌握了总体ξ的分布类型，但其中的分布参数未知，因而需要根据样本对参数进行估计；
2.有些实际问题不要求掌握总体ξ的分布，只需知道总体ξ的数学期望和方差等数字特征。这都需要我们去探讨如何根据样本的数据对总体ξ的未知参数作出科学的估计，这就是参数估计问题。 参数估计通常有两种方法，即点估计（以样本的某一函数的某一函数值作为总体中未知参数的估计值）和区间估计（将总体的数字特征按照一定的概率确定在某一范围之内）。 一、参数的点估计 1、问题的提出：
前面讨论统计量时，提到样本均值和样本方差的概念。那么是否可用样本均值和样本方差去估计总体均值和总体方差呢？理论上可证明：当样本容量n无限增大时，样本均值和总体均值之比及样本方差和总体方差之比皆无限趋近于1。因此，可以用样本均值和样本方差去估计总体均值和总体方差。
点估计是在样本上进行的，设F(x,θ)为总体ξ的分布函数，其中x为变量，θ为参数，(ξ1、ξ2、?ξn)是来自总体的一个样本，现用样本函数?(ξ1、ξ2、?ξn)去估计θ，我们称?为参数θ的一个点估计量，而称θ为待估参数。若（x1、x2、...、xn）为一个样本值，代入估计量?中，就得到θ的具体数据，这个数据称为参数θ的估计值。
由于统计量是随机变量，对于不同的样本值，待估参数θ的估计值?也不同。我们总是希望统计量能够尽可能准确的表达参数的真值。为了这个目的，我们规定了一些评价估计值优劣的标准，来衡量包括点估计在内的估计方法的优劣。 2、估计量的评价 （1）估计的无偏性：
????
估计值?与参数真值θ可能不同，但我们有理由要求?应该围绕着待估参数θ摆动，即应有E(?)＝θ。符合这个条件的估计量?称为参数θ的无偏估计量。
例1-5 证明样本均值?是总体ξ数学期望E(ξ)的无偏估计量
1 证：E(?)＝E（
n11n?i）＝?E(?i)＝?n?E(?)＝E(ξ) ?nni?1i?1n???? 即样本均值?的数学期望E(?)等于总体ξ的数学期望E(ξ)，根据定义，所以?是总体ξ数学期望E(ξ)的无偏估计量。
1n2
例1-6 证明S＝是D(ξ)的无偏估计量； (???)?in?1i?12
1nS*＝?(?i??)2不是D(ξ)的无偏估计量。
ni?12
证明过程见p26～27。
E(S2)＝D（ξ），E(S*2)＝
n?1D（ξ）。 n 所以：用S2比用S*2估计总体方差更好些。 （2）估计的有效性
无偏性是估计量好坏的评价标准之一。但是一个总体参数的无偏估计量并不是唯一的，换言之，同一个总体参数可能有两个或者两个以上的无偏估计量。如果要比较同一参数的两个无偏估计量的好坏，自然应该在样本容量相同的条件下，看哪一个估计量摆动更小，这就是有效性的概念。
设?1和?2是同一参数θ的无偏估计量，如果D(?1)< D(?2)，就说?1比?2更有效。
1例1-7 比较正态总体均值E(ξ)的两个估计量?＝
n??n??????i?1i和???1的有
效性。
1解：因为D(?)＝D（
n1)= ??in2i?1n1?22 D(?i)= 2n?=?nni?1n又因D(?)=D(?1)=?2 所以D(?)