发布时间 : 星期一 文章概率论与数理统计基础 - 图文更新完毕开始阅读
四、随机变量的数字特征（数学期望、方差）
我们知道，随机变量的分布函数（或分布密度、分布律）能很好地描述随机变量的统计特征，但对于一个实际的问题要找出一个随机变量的分布函数（或分布密度、分布律）不是一件很容易的事；另外，在实际上有时也并不要求出随机变量的分布函数，而只要知道随机变量的某些特征就可以了。它能部分地描述分布函数的特征。反映随机变量的分布情形的某些特征数字，我们称为随机变量的数字特征。最常用且最重要的两种数字特征是数学期望和方差。 1．数学期望（均值） （1）数学期望的概念
例：设对某食品的水分进行了n次测量，其中有m1次测得结果为x1，有m2次测得结果为x2，??，有mk次测得结果为xk，则测定结果的平均值为
km1??(x1m1+x2m2+??+xkmk)=?xiinni?1
其中n=m1+m2+??+mk＝?mi，mi为xi出现的频数，
i?1kmi为xi出现的频n率。
因此，所求平均值为得到的诸量值以其出现的频率为权的加权平均。由于频率具有偶然性，所以我们用频率的稳定值——概率代替频率，就消除了偶然性，从本质上反映了随机变量的平均值。习惯上，我们把这个平均值称为随机变量ξ的数学期望或均值。数学期望的意思是通过大量观察，可以期望这个随机变量取这个值。下面分别讨论离散型和连续型两种随机变量的数学期望的定义及其性质。 （2）离散型随机变量的数学期望
定义：设ξ为离散型随机变量，其分布率为
ξ P ?x1 x2 ?? xk p1 p2 ?? pk ?如果级数?xipi绝对收敛，则称级数?xipi为随机变量ξ的数学期望
i?1i?1（或均值）并记作E（ξ），即
?E（ξ）＝?xipi
i?1显然，对于分布已经确定的随机变量来说，随机变量的数学期望是一个常数。如果级数?xipi发散，则称ξ的期望不存在。
i?1? 数学期望是算术平均值概念的拓广，说得明确些，就是概率意义下的平均，因而也称数学期望为均值。 （3） 连续型随机变量的数学期望
定义：设连续型随机变量ξ的分布密度为p（x），若广义积分
?????xp(x)dx绝对收敛，则
??E（ξ）＝?xp(x)dx
??称为连续型随机变量ξ的数学期望。 例：设ξ～N（μ，?2），求E（ξ）
?1e解：E（ξ）＝?xp(x)dx＝?x???2???(x??)22?2????dx＝μ
∴正态分布N（μ，?2）中的参数μ就是ξ的数学期望。 （4） 数学期望的性质
（i） 若C为常数，则E（C）＝C （ii） 若ξ为一随机变量，C为常数，则
E（Cξ）＝C E(ξ)， E（C＋ξ）＝E（ξ）＋C
（iii） 若ξ1和ξ2为两个同类随机变量(同为离散型或连续型随机
变量)则
E（ξ1+ξ2）＝E（ξ1）+E（ξ2）
（iv） 若ξ和η为相互独立的随机变量，则
E（ξ?η）＝E（ξ）? E（η）
2.方差
（1）方差的概念
随机变量ξ的数学期望E（ξ）反映了随机变量取值的平均水平，
但在许多实际中，只知道ξ的数学期望是不够的，还要知道ξ的取值偏离期望的程度。为此，引进方差的概念。
定义：设ξ为一随机变量，如果其数学期望E（ξ）存在，则称[ξ-E（ξ）]为随机变量的ξ的离差。离差的平方的数学期望称为随机变量ξ的方差，记作 D（ξ），即
D（ξ）＝E{[ξ-E（ξ）]2}
显然，对任意随机变量有D（ξ）≥0。[ξ-E（ξ）]2是随机变量ξ的函数，是一个新的随机变量，它的期望表示这个新的随机变量取值的平均情况。D（ξ）大，则ξ与E（ξ）的偏差也大，离散程度越大。故D（ξ）定义域很好地反映了方差是描述随机变量ξ与E（ξ）的偏离情况，也便于数学上的分析。
方差的算术平方根D(?)称为ξ的标准差或均方差，记作?（ξ）＝D(?).与数学期望一样，对有确定分布的随机变量来说，方差也是一个常量。
（2）离散型随机变量的方差
设离散型随机变量ξ的分布律为
ξ x1 x2 ?? xk P
则D（ξ）＝E{[ξ-E（ξ）]}＝?[xk-E（ξ）]2 p（xk）
k?12
p1 p2 ?? pk ?（3）连续型随机变量的方差
若ξ为连续型随机变量，p（x）为分布密度，则
D（ξ）＝E{[ξ-E（ξ）]}＝?[x-E（ξ）]2 p（x）dx
??2
??方差D（ξ）表示ξ取值对E（ξ）的偏离程度，即ξ取值的发散程度，D（ξ）越大，表示ξ取值越发散，反之，表示ξ取值越集中在E（ξ）的附近。
例：设ξ～N（μ，?2），求D（ξ）.
解：∵E（ξ）＝μ
∴D（ξ）＝E{[ξ-E（ξ）]2}
＝?[x-E（ξ）]2 p（x）dx
?????12e＝?(x??)?2???(x??)22?2??dx
＝?2
即D（ξ）＝?2
（4）方差的性质
（i）C=常数， D（C）＝0 （ii）D（Cξ）＝C2 D（ξ） D（C+ξ）＝D（ξ）
（iii）ξ和η相互独立 D（η+ξ）＝D（η）+D（ξ） （iv）D（ξ）＝E（ξ2）- [E（ξ）]2