发布时间 : 星期五 文章中考数学专题提升（十三） 以圆为背景的相似三角形的计算与证明更新完毕开始阅读
专题提升(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与
证明
【经典母题】
如图Z13－1，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F.已知AC＝12，BC＝9，求AO的长．
图Z13－1 经典母题答图
解：如答图，连结OE，设⊙O的半径是R，则OE＝OB＝R. 在Rt△ACB中，由勾股定理，得 AB＝AC2＋BC2＝15.
∵AC切半圆O于点E，∴OE⊥AC， ∴∠OEA＝90°＝∠C，∴OE∥BC， ∴△AEO∽△ACB，
OEAOR15－R45∴BC＝AB，∴9＝15，解得R＝8， 75
∴AO＝AB－OB＝15－R＝8.
【思想方法】 利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO的长． 【中考变形】
1．如图Z13－2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连结OD. (1)求证：△ADO∽△ACB；
(2)若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD·BC. 证明：(1)∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB， ∴∠C＝∠ADO＝90°，∵∠A＝∠A，
图Z13－2
∴△ADO∽△ACB；
ADOD
(2)由(1)知，△ADO∽△ACB.∴AC＝BC， ∴AD·BC＝AC·OD，∵OD＝1，∴AC＝AD·BC.
2．[2017·德州]如图Z13－3，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．
图Z13－3 中考变形2答图
解：(1)证明：如答图，连结OE，EC，∵AC是⊙O的直径， ∴∠AEC＝∠BEC＝90°，∵D为BC的中点， ∴ED＝DC＝BD，∴∠1＝∠2， ∵OE＝OC，∴∠3＝∠4，
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACB，
∵∠ACB＝90°，∴∠OED＝90°，∴DE是⊙O的切线； (2)由(1)知∠BEC＝90°，
∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B＝∠B，∠BEC＝∠BCA， BEBC∴△BEC∽△BCA，∴BC＝BA， ∴BC2＝BE·BA，∵AE∶EB＝1∶2， 设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x，
∵BC＝6，∴62＝2x·3x，解得x＝ 6，即AE＝ 6.
3．如图Z13－4，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E. (1)求证：直线CD是⊙O的切线； (2)若DE＝2BC，求AD∶OC的值．
图Z13－4
解：(1)证明：如答图，连结DO. ∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD. ∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO， ∴∠COD＝∠COB.
又∵CO＝CO，OD＝OB，∴△COD≌△COB(SAS)， ∴∠CDO＝∠CBO＝90°，即OD⊥CD. 又∵点D在⊙O上，∴直线CD是⊙O的切线； (2)由(1)知，△COD≌△COB，∴CD＝CB. ∵DE＝2BC，∴DE＝2CD.∵AD∥OC， ADDE
∴△EDA∽△ECO，∴OC＝CE＝
DE2
＝3.
DE＋CD
中考变形3答图
4．[2016·广东]如图Z13－5，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°.过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E.过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F. (1)求证：△ACF∽△DAE； 3
(2)若S△AOC＝4，求DE的长； (3)连结EF，求证：EF是⊙O的切线．
图Z13－5
解：(1)证明：∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°， 又∵∠ABC＝30°，∴∠ACB＝60°，
中考变形4答图
又∵OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形，即∠OAC＝∠AOC＝60°， ∵AF为⊙O的切线，∴∠OAF＝90°， ∴∠CAF＝∠AFC＝30°，
∵DE为⊙O的切线，∴∠DBC＝∠OBE＝90°，
∴∠D＝∠DEA＝30°，∴∠D＝∠CAF，∠DEA＝∠AFC， ∴△ACF∽△DAE；
33
(2)∵△AOC为等边三角形，∴S△AOC＝4OA2＝4， ∴OA＝1，BC＝2，OB＝1，又∵∠D＝∠BEO＝30°， ∴BD＝23，BE＝3，∴DE＝33；
(3)证明：如答图，过点O作OM⊥EF于点M， ∵OA＝OB，∠OAF＝∠OBE＝90°，∠BOE＝∠AOF， ∴△OAF≌△OBE(SAS)，∴OE＝OF， ∵∠EOF＝120°，∴∠OEM＝∠OFM＝30°， ∴∠OEB＝∠OEM＝30°，即OE平分∠BEF， 又∵∠OBE＝∠OME＝90°， ∴OM＝OB，∴EF为⊙O的切线．
5．[2017·株洲]如图Z13－6，AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE＝EF，线段CE交弦AB于点D.
(1)求证：CE∥BF；
(2)若BD＝2，且EA∶EB∶EC＝3∶1∶5，求△BCD的面积．
图Z13－6
中考变形5答图
解：(1)证明：如答图，连结AC，BE，作直线OC，