发布时间 : 星期日 文章2020版高考数学大一轮复习-第5节椭圆(第2课时)直线与椭圆讲义(理)(含解析)新人教A版更新完毕开始阅读
第2课时 直线与椭圆
考点一 中点弦及弦长问题 角度1 中点弦问题
【例1－1】 已知椭圆＋y＝1，
2
(1)过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
多维探究
x2
2
?11?(2)求过点P?，?且被P点平分的弦所在直线的方程. ?22?
解 (1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点是M(x，y)，则x2＋x1＝2x，y2＋y1＝2y，由于点P，Q在椭圆上，则有：
??2＋y＝1，①
?x??2＋y＝1，②
2
1
22
22
x21
①－②得
y2－y1x2＋x1x＝－＝－， x2－x12（y2＋y1）2yxy－1
所以－＝，
2yx－2
化简得x－2x＋2y－2y＝0(包含在椭圆＋y＝1内部的部分).
2
2
2
x2
2
x1
(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k＝－＝－，
2y2
11?1?
因此所求直线方程是y－＝－?x－?，化简得2x＋4y－3＝0.
22?2?规律方法 弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率. 角度2 弦长问题
x2y2
【例1－2】 (2019·北京朝阳区模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为
abF1，F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于
12
1
C，D，且
|CD|83
＝？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. |AB|7
解 (1)根据题意，设F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)，
a＋c＝3，??
由题意可得?c1
＝，??a2
解得a＝2，c＝1，则b＝a－c＝3， 故椭圆C的标准方程为＋＝1.
43
(2)假设存在斜率为－1的直线l，设为y＝－x＋m， 由(1)知F1，F2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)， 所以以线段F1F2为直径的圆为x＋y＝1，
|－m|
由题意知圆心(0，0)到直线l的距离d＝<1，
2得|m|<2. |AB|＝21－d＝22
22
2
2
2
2
2
x2y2
1－＝2×2－m，
2
m2
2
xy??＋＝1，22
联立得?43消去y，得7x－8mx＋4m－12＝0，
??y＝－x＋m，
由题意得Δ＝(－8m)－4×7(4m－12)＝336－48m＝48(7－m)>0，解得m<7， 设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 8m4m－12则x1＋x2＝，x1x2＝，
77|CD|＝2|x1－x2|＝2×
222
2
2
2
2
?8m?－4×4m－12
?7?7??
22
＝2×336－48m46832
＝×7－m＝|AB| 4977
832＝×2×2－m，
7132
解得m＝<7，得m＝±.
33
即存在符合条件的直线l，其方程为y＝－x±3
. 3
规律方法 1.解决直线与椭圆相交的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题. 2.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2
则|AB|＝（1＋k）[（x1＋x2）－4x1x2] ＝
22
?1＋12?[（y＋y）2－4yy](k为直线斜率). ?k?1212??
x2y2
【训练1】 (1)(一题多解)已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交
54于A，B两点，则弦AB的长为________.
(2)(一题多解)(2019·广东五校调研)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为( ) A.＋＝1 1220C.＋＝1 128
x2x2
y2
B.＋＝1 412D.＋＝1 812
x2x2
y2y2
y2
解析 (1)法一 由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)，
y＝2（x－1），??22
2
由?xy消去y，得3x－5x＝0，
＋＝1??54
?54?故得A(0，－2)，B?，?，则 ?33?
|AB|＝
?0－5?＋?－2－4?＝55. ?3???3?3???
22
法二 由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)， 直线AB的方程为y＝2(x－1)，
y＝2（x－1），??22
2
由?xy消去y得3x－5x＝0，
＋＝1，??54
设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 5
则x1＋x2＝，x1x2＝0，
3
则|AB|＝（x1－x2）＋（y1－y2） ＝（1＋k）[（x1＋x2）－4x1x2] ＝
222
2
?5??552
（1＋2）???＝3. －4×0????3??
2
(2)法一 ∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，
x2
∴设椭圆方程为2＋2＝1(b>0)，
b＋4b
3
y2
yx??2＋2＝1，由?b＋4b消去x， ??y＝3x＋7
得(10b＋4)y－14(b＋4)y－9b＋13b＋196＝0，
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意知
2
2
2
4
2
22
y1＋y2
2
＝1，
2
14（b＋4）2∴y1＋y2＝＝2，解得b＝8. 2
10b＋4∴所求椭圆方程为＋＝1.
812
法二 ∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，
x2y2
x2
∴设椭圆的方程为2＋2＝1(b>0).
b＋4b设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
y2
??
?yx??b＋4＋b＝1， ②
2
22
222
x21
＋2＝1， ①2
b＋4by21
（y1－y2）（y1＋y2）（x1－x2）（x1＋x2）①－②得＋＝0，
b2＋4b2
y1－y2y1＋y2b2＋4
即·＝－2， x1－x2x1＋x2b又∵弦AB的中点的纵坐标为1，故横坐标为－2，
y1－y22×1b2＋4x22k＝＝3，代入上式得3×＝－2，解得b＝8，故所求的椭圆方程为＋x1－x22×（－2）b8
＝1. 12
55
答案 (1) (2)D
3考点二 最值与范围问题
易错警示
y2
x2y2
【例2】 (2019·天津和平区质检)已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：2＋2
ab→3→
＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且PQ＝QB.
2(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.
解 (1)由△ABP是等腰直角三角形，得a＝2，B(2，0).
4