发布时间 : 星期四 文章2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)更新完毕开始阅读
此题考查了利用导数研究函数的单调性，零点等问题，和数形结合的思想方法，难度较大．
（1）令g（x）=f′（x），对g（x）再求导，研究其在（0，π）上的单调性，结合极值点和端点值不难证明；
（2）利用（1）的结论，可设f′（x）的零点为x0，并结合f′（x）的正负分析得到f（x）的情况，作出图示，得出结论．
21.【答案】解：∵⊙M过点A，B且A在直线x+y=0上，
∴点M在线段AB的中垂线x-y=0上，
222
设⊙M的方程为：（x-a）+（y-a）=R（R＞0），则 圆心M（a，a）到直线x+y=0的距离d= ， 又|AB|=4，∴在Rt△OMB中， d2+（|AB|）2=R2，
即 ①
又∵⊙M与x=-2相切，∴|a+2|=R② 由①②解得 或 ，
∴⊙M的半径为2或6；
（2）存在定点P，使得|MA|-|MP|为定值。 ∵线段为⊙M的一条弦，
∴圆心M在线段AB的中垂线上，
222
设点M的坐标为（x，y），则|OM|+|OA|=|MA|， ∵⊙M与直线x+2=0相切，∴|MA|=|x+2|，
22222
∴|x+2|=|OM|+|OA|=x+y+4， 2
∴y=4x，
∴M的轨迹是以F（1，0）为焦点x=-1为准线的抛物线， ∴|MA|-|MP|=|x+2|-|MP| =|x+1|-|MP|+1 =|MF|-|MP|+1，
∴当|MA|-|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（1，0）， ∴存在定点P（1，0）使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值． 【解析】
（1）由条件知点M在线段AB的中垂线x-y=0上，设圆的方程为⊙M的方程为
222
（x-a）+（y-a）=R（R＞0），然后根据圆与直线x+2=0相切和圆心到直线
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x+y=0的距离，半弦长和半径的关系建立方程组即可；
2
（2）设M的坐标为（x，y），然后根据条件得到圆心M的轨迹方程为y=4x，然
后根据抛物线的定义即可得到定点．
本题考查了直线与圆的关系和抛物线的定义，考查了待定系数法和曲线轨迹方程的求法，属难题．
1t（为参数），得 ，22.【答案】解：（）由
两式平方相加，得
（x≠-1），
∴C的直角坐标方程为 （x≠-1），
由2ρcosθ+ ρsinθ+11=0，得 ，
即直线l的直角坐标方程为得 .
（2）设与直线 平行的直线方程为 ，
，
22
得16x+4mx+m-12=0．
22
由△=16m-64（m-12）=0，
4, 得m=±
∴当m=4时，直线 与曲线C的切点到直线 的距离最小， 联立
即为直线 与直线 之间的距离 ． 【解析】
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了两平行线间的距离公式的应用，是中档题． （1）把曲线C的参数方程变形，平方相加可得普通方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入2ρcosθ+
ρsinθ+11=0，可得直线l的直角坐标方程.
，与曲线C联立，化为关
（2）写出与直线l平行的直线方程为
于x的一元二次方程，利用判别式大于0求得m，转化为两平行线间的距离求C上的点到l距离的最小值．
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23.【答案】证明：（1）分析法：已知a，b，c为正数，且满足abc=1．
222
要证（1） + + ≤a+b+c；因为abc=1．
就要证：
+
+
≤a2+b2+c2；
222
即证：bc+ac+ab≤a+b+c；
222
即：2bc+2ac+2ab≤2a+2b+2c； 2a2+2b2+2c2-2bc-2ac-2ab≥0
222
（a-b）+（a-c）+（b-c）≥0； ∵a，b，c为正数，且满足abc=1．
222
∴（a-b）≥0；（a-c）≥0；（b-c）≥0恒成立；当且仅当：a=b=c=1时取等号．
222
即（a-b）+（a-c）+（b-c）≥0得证． 222
故 + + ≤a+b+c得证．
333
（2）证（a+b）+（b+c）+（c+a）≥24成立； 即：已知a，b，c为正数，且满足abc=1．
（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；
333
（a+b）+（b+c）+（c+a）≥3（a+b）?（b+c）?（c+a）；
当且仅当（a+b）=（b+c）=（c+a）时取等号；即：a=b=c=1时取等号； ∵a，b，c为正数，且满足abc=1．
（a+b）≥2 ；（b+c）≥2 ；（c+a）≥2 ；
当且仅当a=b，b=c；c=a时取等号；即：a=b=c=1时取等号；
333
∴（a+b）+（b+c）+（c+a）≥3（a+b）?（b+c）?（c+a）≥3×8 ? ? =24abc=24； 当且仅当a=b=c=1时取等号；
333
故（a+b）+（b+c）+（c+a）≥24．得证． 故得证．
【解析】
（1）利用基本不等式和1的运用可证，（2）分析法和综合法的证明方法可证． 本题考查重要不等式和基本不等式的运用，分析法和综合法的证明方法．
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