发布时间 : 星期五 文章2018丰台高三数学二模考试答案解析理科更新完毕开始阅读
海淀高三二模
数学 （理科） 2018．5
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的
一项．
1 2 3 4 5 6 7 8 B C D B A C C A
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）1
（10）10 （11）1；23
（12）73 （13）答案不唯一，a?0或a?4的任意实数
（14）255 注：第11题第一空3分，第二空2分．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题13分）
【解析】（1）A?2，??2，???π3． ··················································· 6分 （2）由（1）得，f(x)?2sin(2x?π3)．
因为f(?)?1，所以sin(2??π3)?12．
因为????5π?12,2π?3??，所以2??π?π?3???2,π??．
所以2??π53?6π，
所以2??76π，
所以cos2??cos736π??2． ·
························································ 13分
1
16．（本小题共13分） 【解析】（1）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．
其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人．
6所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率为：?0.6，
10从该校高二年级随机选取一名学生，
估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6．……………………………．4分
（2）设事件A：从上述考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分．
由（1）知，上述考核成绩大于等于90分的学生共6人，
其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人．
2C331··································································· 9分 所以，P(A)?2??． ·
C61552········································································ 13分 （3）x1?x2，s12?s2． ·
17．（本小题共14分） 【解析】
（1）因为AB1?平面ABC，AC?平面ABC， 所以AB1?AC．
因为AC1?AC，AB1AC1?A，AB1，AC1?平面AB1C1， 所以AC?平面AB1C1． 因为B1C1?平面AB1C1，
················································································· 4分 所以AC?B1C1． ·
（2）取A1B1的中点M，连接MA、ME．
因为E、M分别是B1C1、A1B1的中点， 1所以ME∥A1C1，且ME?AC11．
2C1A1B1ME在三棱柱ABC?A1B1C1中，AD∥AC11，且AD?所以ME∥AD，且ME?AD， 所以四边形ADEM是平行四边形， 所以DE∥AM．
1AC11， 2CBDA········ 又AM?平面AA1B1B，DE?平面AA1B1B， ·
·····································9分 所以DE∥平面AA1BB． ·
（3）在三棱柱ABC?A1B1C1中，BC∥B1C1， 因为AC?B1C1，所以AC?BC． 在平面ACB1内，过点C作Cz∥AB1， 因为，AB1?平面ABC， 所以，Cz?平面ABC．
建立空间直角坐标系C?xyz，如图．则
zC1EB1A1CBDxyAC(0,0,0)，B(2,0,0)，B1(0,2,2)，C1(?2,2,2)，D(0,1,0)，E(?1,2,2)．
2
DE?(?1,1,2)，CB?(2,0,0)，
设平面BB1C1C的法向量为n?(x,y,z)， ??2x?0?n?CB?0则?，即?，
2y?2z?0n?CB?0???1得x?0，令y?1，得z??1，故n?(0,1,?1)． 设直线DE与平面BB1C1C所成的角为?， 则sin??cos?DE,n??DE?n|DE|?|n|?3， 63···································· 14分 ． 6所以直线DE与平面BB1C1C所成角的正弦值为 18．（本小题共14分）
x2【解析】（1）在椭圆C：?y2?1中，a?2，b?1，
4所以c?a2?b2?3，
故椭圆C的焦距为2c?23，离心率e?（2）设P(x0,y0)（x0?0，y0?0），
22x0x022则?y0?1，故y0?1?． 4422222所以|TP|?|OP|?|OT|?x0?y0?1?c3······································· 5分 ． ?a2y32x0， 4TPx所以|TP|?S△OTP?3x0， 2OF13|OT|?|TP|?x0． 2413 OF?y0?y0.．
223x0??(?y0) 22又O?0,0?，F(3,0)，故S△OFP?因此S四边形OFPT?S△OFP?S△OTP23x032???x0y0?y0??1?x0y0． 24222x0x022由?y0?1，得2?y0?1，即x0?y0?1， 4436， ?1?x0y0?222x0122··························· 14分 当且仅当?y0时等号成立． ·?，即x0?2，y0?422 19． （本小题共13分） 【解析】
所以S四边形OFPT?（1）f'(x)?a?eax?a?a?(eax?1)（a?0，x?R），
令f'(x)?0，得x?0．
①当a?0时，f'(x)与eax?1符号相同，
3
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (??,0) 0 (0,??) f'(x) ? 0 ? f(x) ↘ 极小值 ↗ ②当a?0时，f'(x)与eax?1符号相反，
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (??,0) 0 (0,??) f'(x) ? 0 ? f(x) ↘ 极小值 ↗
综上，f(x)在x?0处取得极小值f(0)??2．· ··································· 7分
（2）g'(x)?eax?ax?3?f(x)（a?0，x?R），
故g'(x)??1?f(x)??1．
注意到f(0)??2??1，f(222a)?e?5??1，f(?a)?e?2?1??1，
所以，?x?2a,0)，x21?(2?(0,a)，使得f(x1)?f(x2)??1．
因此，曲线y?g(x)在点P1(x1,f(x1))，P2(x2,f(x2))处的切线斜率均为?1． 下面，只需证明曲线y?g(x)在点P1(x1,f(x1))，P2(x2,f(x2))处的切线不重合． 曲线y?g(x)在点Pi(xi,f(xi))（i?1,2）处的切线方程为y?g(xi)??(x?xi)， 即y??x?g(xi)?xi．
假设曲线y?g(x)在点Pi(xi,f(xi))（i?1,2）处的切线重合，则g(x2)?x2?g(x1)?x1．令G(x)?g(x)?x，则G(x1)?G(x2)，且G'(x)?g'(x)?1?f(x)?1． 由（1）知，当x?(x1,x2)时，f(x)??1，故G'(x)?0．
所以，G(x)在区间[x1,x2]上单调递减，于是有G(x1)?G(x2)，矛盾！ 因此，曲线y?g(x)在点Pi(xi,f(xi))(i?1,2)处的切线不重合． 13分
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