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f(n)个区域，求f(n)的递推关系并求解.解：设n-1条直线把平面分成f(n-1)个区域，则第n条直线与前n-1条直线都有一个交点，即在第n条直线上有n-1个交点，并将其分成n段，这n段又把其所在的区域一分为二。
?f(n)?f(n?1)?n,(n?2)? ??f(1)?2齐次特征方程： x?1?0特征根： x?1非齐次特解： f*(n)?(b0?b1n)n代入递推关系得：1b0?b1?，2(1?n)nf#(n)?c1?2代入递推关系得：c1?1? f(n)?1?(1?n)n26.6 一个1?n的方格图形用红、蓝两色涂色每个
方格，如果每个方格只能涂一种颜色，且不允许两个红格相邻，设f(n)有种涂色方案，求f(n)的递推关系并求解.解：
f(n-2) f(n-1) (n?2)?f(n)?f(n?1)?f(n?2),? ??f(1)?2，f(2)?36.7 核反应堆中有?和?两种粒子，每秒钟
内1个?粒子可反应产生出3个?粒子，而1个?粒子又可反应产生出1个?粒子和2个?粒子.若在t=0s时刻反应堆中只有1个?粒子，求t=100s时刻反应堆里将有多少个?粒子和?粒子，共有多少个?粒子.解：设t时刻反应堆中?粒子数为f(t)，?粒子数为g(t)
在t-1时刻 在t时刻 ? ? g(t-1) f(t-1) g(t-1) 3f(t?1)?2g(t-1) ?f(t)?g(t?1),(n?2)??g(t)?3f(t?1)?2g(t?1)?f(0)?1,g(0)?0??g(t)?3g(t?2)?2g(t?1),(n?2)??g(0)?0,g(1)?3齐次特征方程： x2?2x?3?0特征根： x1?3,x2??1齐次通解： g#(t)?c1?3t?c2?(?1)t代入递推关系得：33c1?，c2??4433? g(t)??3t??(?1)t443t?133t3t?1? f(t)??3??(?1)???(?1)t补：上有n个大圆，任意两个大圆皆相4444交，且没有三个大圆通过同一点，则这些大圆所形成的区域数f(n)满足的递推关系是f(n+1)= f(n)+2n，n>1,f(1)=2 f(n)可以由f(n)来生成，当在f(n)个大圆的基础上，在球面上再加上第n+1个大圆时，它同前n个大圆共得到2n个交点(因无三个大圆相交于一点)，而每增加一个交点就增加一个新的面，故共增加2n个面。所以有f(n+1)= f(n)+2n。设P是平面上n个连通区域D1,D2,…Dn的公共交界点，如下图所示。现用k种颜色对其着色，要求有公共边界的相邻区域着以不同的颜色，令
f(n)表示不同的着色方案。
，求它所满足的递推关系。有：
f(n)= (k-1)f(n-2)+(k-2)f(n-1) （n≥4） f(2)=k(k-1) ， f(3)=k(k-1)(k-2)有D1与Dn-1同色，此时Dn有k-1种方案，可将D1与D n-2看成相邻区域，则D1,D2, …, Dn-2的着色方案为f(n-2)。D1与Dn-1异色，此时Dn有k-2种方案，可将，则D1,D2, …, Dn-1的着色方案为f(n-1)。(k-1)f(n-2)+(k-2)f(n-1)
另
有
：
f(n)=k(k-1)
n-1
-f(n-1)
第七章例n种颜色涂色装有7颗
珠子的手镯，如果只考虑手镯的旋转，求有多少种涂色方案？ 解 对象集D＝
{1,2,3,4,5,6,7}，颜色集是R＝(1,2,3,…,n)，D上的置换群G＝{g0,g1,g2,…,g6}，其中gi表示旋转360°*i/7，因7是质数，所以除λ(g0)＝7外，其它λ(gi)＝1，(i=1,2,3,4,5,6)，代入Polya公式，得L＝1/7*[n7+6n]而四边形：转180时