发布时间 : 星期三 文章推荐下载 2018届高考数学理二轮复习全国通用 训练专题四 立体几何 第2讲 含答案更新完毕开始阅读
1.(2016·山东卷)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线. (1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC； 1
(2)已知EF＝FB＝2AC＝23，AB＝BC，求二面角F－BC－A的余弦值.
(1)证明 设FC中点为I，连接GI，HI，在△CEF中，因为点G是CE的中点，所以GI∥EF. 又EF∥OB，所以GI∥OB.
在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH?平面GHI，所以GH∥平面ABC.
(2)解 连接OO′，则OO′⊥平面ABC.又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC.
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz. 由题意得B(0，23，0)，
C(－23，0，0).过点F作FM垂直OB于点M， 所以FM＝FB2－BM2＝3，可得F(0，3，3). →＝(－23，－23，0)，BF→＝(0，－3，3). 故BC
设m＝(x，y，z)是平面BCF的一个法向量.
→＝0，??－23x－23y＝0，?m·BC由?可得?可得平面BCF的一个法向量m＝
→－3y＋3z＝0.??BF＝0.?m·
?3??－1，1，?，
3??
因为平面ABC的一个法向量n＝(0，0，1)， m·n7
所以cos〈m，n〉＝|m||n|＝7. 7
所以二面角F－BC－A的余弦值为7.
2.(2015·山东卷)如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点. (1)求证：BD∥平面FGH；
(2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE, ∠BAC＝45° ，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.
(1)证明 法一 连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH，在三棱台DEF－ABC中， AB＝2DE，G为AC的中点， 可得DF∥GC，DF＝GC， 所以四边形DFCG为平行四边形.
则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OH∥BD， 又OH?平面FGH，BD?平面FGH，所以BD∥平面FGH. 法二 在三棱台DEF－ABC中， 由BC＝2EF，H为BC的中点， 可得BH∥EF，BH＝EF， 所以四边形BHFE为平行四边形，
可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB. 又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED. 因为BD?平面ABED， 所以BD∥平面FGH. (2)解 设AB＝2，则CF＝1.
1
在三棱台DEF－ABC中，G为AC的中点，由DF＝2AC＝GC，可得四边形DGCF为平行四边形， 因此DG∥FC，又FC⊥平面ABC， 所以DG⊥平面ABC.
在△ABC中，由AB⊥BC，∠BAC＝45°，G是AC中点. 所以AB＝BC，GB⊥GC， 因此GB，GC，GD两两垂直. 以G为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系G－xyz.
所以G(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，1). ?22?
可得H?，，0?，F(0，2，1)，
2?2??→22→＝??，，0?，GF故GH＝(0，2，1). 2?2?设n＝(x，y，z)是平面FGH的一个法向量， →＝0，??n·GH?x＋y＝0，
则由?可得?
→?2y＋z＝0.?GF＝0，?n·
可得平面FGH的一个法向量n＝(1，－1，2). →是平面ACFD的一个法向量，GB→＝(2，0，0).
因为GB
→·nGB21→
所以cos〈GB，n〉＝＝＝2.
→22|GB|·|n|
所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°. 3.(2016·四川卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC， 1
∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝2AD.E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.
(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
(2)若二面角P－CD－A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值. 解 (1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点.理由如下： 由已知，BC∥ED，且BC＝ED. 所以四边形BCDE是平行四边形.
从而CM∥EB.又EB?平面PBE，CM?平面PBE. 所以CM∥平面PBE.
(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点) (2)法一 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD. 于是CD⊥PD.
从而∠PDA是二面角P－CD－A的平面角.所以∠PDA＝45°. 由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD. 设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.
→，AP→的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如
作Ay⊥AD，以A为原点，以AD图所示的空间直角坐标系A－xyz，
则A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，1，0)，E(1，0，0). →＝(1，0，－2)，EC→＝(1，1，0)，AP→＝(0，0，2). 所以PE
设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z).
→＝0，x－2z＝0，??n·PE?由?得?设x＝2，解得n＝(2，－2，1).
→＝0.?x＋y＝0.?EC?n·
→|
|n·AP2
设直线PA与平面PCE所成角为α，则sin α＝＝＝222→2×2＋（－2）＋1|n|·|AP|1. 3
1
所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为3. 法二 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A， 所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD. 所以∠PDA是二面角P－CD－A的平面角. 所以∠PDA＝45°.
设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.
过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH. 易知PA⊥平面ABCD，
从而PA⊥CE.且PA∩AH＝A，于是CE⊥平面PAH.又CE?平面PCE，所以平面PCE⊥平面PAH.
过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE. 所以∠APH是PA与平面PCE所成的角. 在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1，