发布时间 : 星期三 文章(浙江专用)高考数学二轮复习专题七数学思想方法(选用)第1讲函数与方程思想、数形结合思想学案更新完毕开始阅读
【例2－1】 (1)若函数f(x)＝|2－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________． (2)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x.
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x?13?又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在?－，?上的零点个数为( ) ?22?
A．5
B．6
C．7
解析 (1)由f(x)＝|2－2|－b有两个零点，可得|2－2|＝b有两个不等的实根，从而可得函数y＝|2－2|的图象与函数y＝b的图象有两个交点，如图所示．结合函数的图象，可得0＜b＜2，故填(0，2)．
(2)根据题意，函数y＝f(x)是周期为2的偶函数且0≤x≤1时，
xxxD．8
f(x)＝x3，则当－1≤x≤0时，f(x)＝－x3，且g(x)＝|xcos(πx)|，
13所以当x＝0时，f(x)＝g(x)．当x≠0时，若0 2 xcos(πx)，即x2＝cos πx. ?13?再根据函数性质画出?－，?上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的?22? 图象，如图所示，有5个交点．所以总共有6个零点． 答案 (1)(0，2) (2)B 探究提高 用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数． [应用2] 利用数形结合思想解不等式或求参数范围 【例2－2】 (1)若不等式9－x≤k(x＋2)－2的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝________． 1 (2)若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________． 2 解析 (1)如图，分别作出直线y＝k(x＋2)－2与半圆y＝9－x.由题意，知直线在半圆的上方，由b－a＝2，可知b＝3，a＝1，所以 2 2 5 直线y＝k(x＋2)－2过点(1，22)，则k＝2. 1 (2)作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2 21 －2a，故a≤. 2 1??答案 (1)2 (2)?－∞，? 2?? 探究提高 求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答． [应用3] 利用数形结合思想求最值 【例2－3】 (1)已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x＋y－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点， 2 2 C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________． (2)已知F是双曲线C：x－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，66)，当△APF周8长最小时，该三角形的面积为________． 解析 (1)从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRt△PAC＝ 12 2 y2 1 |PA|·|AC|＝|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、 2右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最 特殊的位置，即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值， |3×1＋4×1＋8| 此时|PC|＝＝3， 22 3＋4从而|PA|＝|PC|－|AC|＝22. 1 所以(S四边形PACB)min＝2××|PA|×|AC|＝22. 2 (2)设双曲线的左焦点为F1，连接PF1，根据双曲线的定义可知|PF|＝2＋|PF1|，则△APF的周长为|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA|＋2＋|PF1|＋|AF|＝|PA|＋|PF1|＋|AF|＋2， 由于|AF|＋2是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|＋|PF1|最小，即P， 2 2 A，F1三点共线，如图所示． 由于A(0，66)，F1(－3，0)， 6 直线AF1的方程为：＋＝1， －366即x＝ xyy26 －3， 代入双曲线方程整理可得 y2＋66y－96＝0，解得y＝26或y＝－86(舍去)， 所以点P的纵坐标为26. 11 所以S△APF＝S△AFF1－S△PFF1＝×6×66－×6×26＝126. 22答案 (1)22 (2)126 探究提高 破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数形结合的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论. 1．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想． 2．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解． 3．许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量． 4．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都是实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的． 5．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的． 6．利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象 . 一、选择题 1．直线3x－y＋m＝0与圆x＋y－2x－2＝0相切，则实数m等于( ) A.3或－3 C．－33或3 2 2 B．－3或33 D．－33或33 7 解析 圆的方程(x－1)＋y＝3，圆心(1，0)到直线的距离等于半径 22 |3＋m| ＝33＋1 |3＋ m|＝23m＝3或m＝－33. 答案 C 2．已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝lg x解的个数是( ) A．5 B．7 C．9 D．10 2 解析 由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数． 又f(x)＝lg x，则x∈(0，10]，画出两函数图象， 则交点个数即为解的个数． 由图象可知共9个交点． 答案 C 3．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( ) A．(－1，1) B．(－1，＋∞) D．(－∞，＋∞) C．(－∞，－1) 解析 f′(x)＞2转化为f′(x)－2＞0，构造函数F(x)＝f(x)－2x， 得F(x)在R上是增函数． 又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)＝4，f(x)＞2x＋4， 即F(x)＞4＝F(－1)，所以x＞－1. 答案 B 4．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( ) A.2 B．22 C.3 D．2 →→→→→→→ 解析 如图，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则CA＝a－c，CB＝b－c.由题意知CA⊥CB， ∴O，A，C，B四点共圆． → ∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，|OC|＝2. 答案 A 1x5．当0＜x≤时，4＜logax，则a的取值范围是( ) 2 8