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点集拓扑复习题
一、名词解释
1、同胚映射：设X和Y是两个拓扑空间.如果f:X?Y是一个一一映射，并且f和
f?1:Y?X 都是连续映射，则称f是一个同胚映射或同胚.
2、不连通空间：设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集A,B,使得
A?B?X,则称X是一个不连通空间.
3、拓扑：设X是一个非空集合。X的一个子集族τ称为X的一个拓扑，如果它满足： 1．X和空集?都属于τ
2．τ中任意多个成员的并集仍在τ中 3．τ中有限多个成员的交集仍在τ中。
4、导集：设X是一个拓扑空间，集合A的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.
5、度量：设集合X的一个映射d:X?X?R.若对于任何x,y,z?X，有 （I）（正定性）d(x,y）≥0，且d(x,y)=0当且仅当 x = y； （Ⅱ）（对称性）d(x,y)= d(y,x）； （Ⅲ）（三角不等式）d(x,z）≤d(x,y)+ d(y,z）
则称d为集合X的一个度量（或距离）。 二、证明题（4选3）
1、证明：度量空间X中的开集且有以下性质：
（1）集合X本身和空集?都是开集； （2）任意两个开集的交是一个开集； （3）任意一个开集族的并是一个开集。
证明:
（1）根据定理2.1.1(1)X中的每一个元素x都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在X中，所以X满足开集的条件；空集?中不包含任何点，也自然地可以认为它满足开集的条件．
（2）设U和V是X中的两个开集．如果x?U?V，则存在x的一个球形邻域B(x,?1)包含于U，也存在X的一个球形邻域B(x,?2)包含于V．根据定理2.1.1(2)，x有一个球形邻域B(x,?)同时包含于B(x,?1)和B(x,?2)，因此
B(x,?)?B(x,?1)?B(x,?2)?U?V
由于U?V中的每一点都有一个球形邻域包含于U?V，因此U?V是一个开集．
（3）设A是一个由X中的开集构成的子集族．如果x??A?AA，则存
在A0?A使得x?A0由于A0是一个开集，所以x有一个球形邻域包含于A0，显然这个球形邻域也包含于?A?AA．这证明?A?AA是X中的一个开集．
2、设f:X?Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f(X)是Y的一个连通子集.
证明：如果f(X)是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A,B使得
f(X)?A?B …………………………………………… 3分
于是f?1(A),f?1(B)是X的非空子集，并且：
(f?1(A)?f?1?1(B))?(f?1?1(B)?f?1?1(A))?1?(f?f(A)?f(B))?(f(B)?f(A))
?1((A?B)?(A?B))??所以ff?1?1(A),f?1?1(B)是X的非空隔离子集，此外
?1(A)?f(B)?f(A?B)?f?1(f(X))?X，这说明X不连通，矛盾.从而
f(X)是Y的一个连通子集. ………………………… 8分
3、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的开集使得
Y?A?B,则或者Y?A,或者Y?B.
证明：因为A,B是X的开集，从而A?Y,B?Y是子空间Y的开集. 又因Y?A?B中，故Y?(A?Y)?(B?Y) ………………… 4分
由于Y是X的连通子集,则A?Y,B?Y中必有一个是空集. 若B?Y??,则
Y?A;若A?Y??,则Y?B………………… 8分
4、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理.
证明：若X满足第一可数公理，则在x?X处,有一个可数的邻域基，设为V ,因为Xx 是可数补空间，因此对?y?X,y?x,X?{y}是x的一个开邻域，从而
? Vy?V x ,使得Vy?X?{y}.
于是{y}?Vy, …………………………………………………4分 由上面的讨论我们知道：
?X?{x}?? {y}?y?X?{x}? V?y
y?X?{y} 因为X?{x}是一个不可数集，而
? Vuy?X?{x}?是一个可数集，矛盾.
从而X不满足第一可数性公理. ………………………………8分
三、填空题
1、设X?{a,b},则X的平庸拓扑为 ;答案：T?{X,?} 2、每一个球形邻域都是 ；答案：开集
3、若拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个 ；答案：可分空间 4、若任意n?1个拓扑空间X1,X2,?,Xn,都具有性质P,则积空间X1?X2???Xn也具
有性质P，则性质P称为 ; 答案：有限可积性质
5、f:X?Y是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于
映射f而言的商拓扑，则称f是一个 ;答案：商映射
四、选择题
1、设X?{a,b,c}，下列集族中,（ ）是X上的拓扑.
① T?{X,?,{a},{a,b},{c}} ② T?{X,?,{a},{a,b},{a,c}}
③ T?{X,?,{a},{b},{a,c}} ④ T?{X,?,{a},{b},{c}} 答案：②
2、已知X?{a,b,c,d}，拓扑T?{X,?,{a}},则{b}=（ ）
①φ ② X ③ {b} ④ {b,c,d} 答案：④
3、在实数空间中，有理数集Q的边界?(Q)是（ ）
① ? ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④
4、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）
① ? ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④
5、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中错误的是（ ）
① d(A?B)?d(A)?d(B) ② A?B?A?B ③ d(A?B)?d(A)?d(B) ④ A?A 答案: ③
6、离散空间X的任一子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③
7、设X?X1?X2???X6是拓扑空间X1,X2,?,X6的积空间.P1是X到X1的投射，则
P1是（ ）
① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 8、在实数空间R中，下列集合是开集的是（ ）
① 整数集Z ② 有理数集
③ 无理数集 ④ 整数集Z的补集Z? 答案：④
9、设X?{1,2,3},T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{2,3},则X的子空间
A的拓扑为( )
① T?{?,{3},{2,3}} ② T?{?,A,{2},{3}}
③ T?{?,X,{2},{3},{2,3}} ④ T?{?,X,{3}} 答案：②
10、设X?{a,b,c}，拓扑T?{X,?,{a},{b,c}},则X的既开又闭的非空真子集的个数为
（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②