发布时间 : 星期六 文章热点问题7 解析几何中的定点定值问题(16教师版)更新完毕开始阅读
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热点问题7 解析几何中的定点、定值问题
一、填空题
1.已知a?R,直线l:(a?1)x?2ay?3?0,则直线l经过的定点的坐标为 .
答案 ?3,???3?? 2??x?2y?03??解析 由a(x?2y)??3?x??0知,直线l经过两直线?的交点,即点?3,??.
2???3?x?02.已知实数a,b,c满足b?c?2a,直线l:ax?by?c?0,过点P?2,3?作直线l的垂线,垂足
为M,O为坐标原点,则线段OM的最大值为 . 答案 2?5 2解析 由条件知直线l经过定点Q??2,1?,点M在以PQ为直径的圆x??y?2??5上,由
2几何性质知OM的最大值为2?5.
3.(2013·盐城三模)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-(6-2m)x-4my+5m2-6m=0,
直线l经过点 (-1,1).若对任意的实数m,定直线l被圆C截得的弦长为定值,则直线l的方程为 . 答案 2x?y?1?0
解析 由条件知圆心C?3?m,2m?在直线2x?y?6?0上,若对任意的实数m,定直线l被圆C截得的弦长都是定值,则直线l与圆心所在直线平行,再代入点(-1,1)得直线l的方程为2x?y?1?0.
224.已知AC、BD为圆O:x?y?4的两条相互垂直的弦,垂足为M1,2,则
??AC2?BD2=______
答案 20
解析 设圆心O到AC、BD的距离分别为d1,d2,则
22AC2?BD2?4(4?d12)?4(4?d2)?32?4(d12?d2)=32?4OM2?20
5.(2014·南京三模)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x-1)2+y2=4,P为圆C上一点.若
存在一个定圆M,过P作圆M的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,当P在圆C上运动时,使得∠APB恒为60?,则圆M的方程为 . 答案 (x-1)2+y2=1
解析 设定圆圆心M?a,b?,半径为r,动点P?x,y?,由题意知MP?2r,
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2即?x?a???y?b??4r,由于点P在圆C:(x-1)2+y2=4上,所以有
22?2?2a?x?2by?a2?b2?4r2?3?0对任意x,y都成立,所以a?1,b?0,r2?1,
所求圆方程为(x-1)2+y2=1.
6.(原创)已知圆C:(x?1)2?y2?4,O为原点,A为平面内一定点,对于圆C上任意一点P,
都有PA?2PO 则点A的坐标为 . 答案(3,0)
解析 设A(m,n),P(x,y),由PA?2PO,得(x?m)2?(y?n)2?4(x2?y2), 化简得:3x2?3y2?2mx?2ny?m2?n2?0,又因为x2?y2?2x?3?0,
所以(2m?6)x?2ny?9?m2?n2?0,因为对任意的x,y恒成立,所以m=3,n=0.得A(3,0)
x2y2??1上一点A(2,2),点B是椭圆上任意一点(异于7.在平面直角坐标系xOy中,椭圆84点A),过点B作与直线OA平行的直线l交椭圆于点C,当直线AB、AC斜率都存在时,
kAB?kAC=___________.
答案 0
?2y?2?x?2?2得C22,0 解析 取特殊点B?0,?2?,则BC的方程为y?2?x,由?22?x?y2?4??2
??所以kAB?kAC?2?22??0. 22?22x2y22一般情况:在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆2?2?1?a?b?0?的离心率为,点
ab2?b2?A?c,?,点B是椭圆上任意一点(异于点A),过点B作直线OA的平行线l交椭圆于点C,当
a??直线AB、AC斜率都存在时,kAB?kAC=0.
x2y2??1的左顶点为A,过A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点,直线8.已知椭圆
164AM、AN的斜率记为k1,k2,满足k1?k2??2,则直线MN经过的定点为___________.
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答案 T???28?,0? 9???x2y224?16k24k12?64??14?16k12?解析 由?164,同理xN?. ?2?xM?221?4kk?161?4k121?y=k?x+4?1?yM?8k1?16k1?28?,,取,由对称性可知,直线MN经过轴上的定点y?k?1TxN1??,0?.
1?4k1216?k12?9?x2y2一般情况:在平面直角坐标系xOy中,过椭圆2?2?1?a?b?0?上一定点A作两条弦AM、
abAN分别交椭圆于M、N两点,直线AM、AN的斜率记为k1,k2,当k1?k2为非零常数时,直线MN经过定点. 二、解答题
x29.(2014年苏锡常二模)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆?y2?1的左、右焦点分别为F ?
4与F,圆F:x?3??2?y2?5.
??????????(1)设M为圆F上一点,满足MF'?MF?1,求点M的坐标;
(2)若P为椭圆上任意一点,以P为圆心,OP为半径的圆P与圆F的公共弦为QT,
证明:点F到直线QT的距离FH为定值.
y??????????解:(1)F(?3,0),F(?3,0),设M(m,n),由MF'?MF?1,得
'F 'QOHFx(m?3)(m?3)?n2?1即m2?n2?4.① 又(m?3)2?n2?5.② 由①,②得m?333333333)或M(,-). ,n??. ?M(,333333PT
(2)设点P(x0,y0),则圆P的方程为(x?x0)2?(y?y0)2?x02?y02. 即x2?y2?2x0x?2y0y?0.③ 又圆F的方程为(x?3)2?y2?5.④ 由③,④得直线QT的方程为(x0?3)x?y0y?1?0.
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所以FH?3(x0?3)?1(x0?3)?y022?3x0?4x0?y0?23x0?322.
x02x0222?y0?1,即y0?1?. 因为P(x0,y0)在椭圆上,所以44所以FH?3x0?4x02?(1?x0)?23x0?342?3x0?43x0?23x0?442?(3x0?43x0?2)22?2.
x22
10.(2014·安徽蚌埠三模)在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆C:+y=1的上、下顶点
4分别为A、B,点P在椭圆C上且异于点A、B,直线AP、PB与直线l:y=-2分别交于点M、N.
(1)设直线AP、PB的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值; (2)求线段MN长的最小值;
(3)当点P运动时,以MN为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.
x22
解:(1)由题设+y=1可知,点A(0,1),B(0,-1).
4
令P(x0,y0),则由题设可知x0≠0.
y0-1y0+1
所以,直线AP的斜率k1=,PB的斜率为k2=. x0 x0
yAOBNMxPx02?y02?1(x0≠0)又点P在椭圆上,所以,从而有 4y0-1y0+1y02-11(第10题) k1·k2=.=2=-. x0 x0 x04
(2)由题设可以得到直线AP的方程为y-1=k1(x-0),直线PB的方程为
y-(-1)=k2(x-0).
3??y?1?k1x?x??由?,解得?k1;
y??2???y??21??y?1?k2x?x??由?,解得?k2.
y??2???y??2 所以,直线AP与直线l的交点N(? 于是MN?|31,?2),直线PB与直线l的交点M(?,?2). k1k2311
?|,又k1·k2=-4,所以 k1k2[来源学科MN?|333?4k1|??4|k1|≥2?4|k1|=43, k1|k1||k1|- 4 -