发布时间 : 星期一 文章2019年全国统一高考数学试卷（文科）以及答案解析（全国2卷）更新完毕开始阅读
当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P．
，+∞）．
所以b＝4，a的取值范围为[4
【点评】本题考查了双曲线的性质，属中档题．
21．【分析】（1）推导出f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝lnx﹣，从而f′（x）单调递增，进而存在唯一的x0∈（1，2），使得f′（x0）＝0．由此能证明f（x）存在唯一的极值点．
（2）由f（x0）＜f（1）＝﹣2，f（e）＝e﹣3＞0，得到f（x）＝0在（x0，+∞）内存在唯一的根x＝a，由a＞x0＞1，得
，从而是f（x）＝0在（0，x0）的唯一
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根，由此能证明f（x）＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 【解答】证明：（1）∵函数f（x）＝（x﹣1）lnx﹣x﹣1． ∴f（x）的定义域为（0，+∞）， f′（x）＝
＝lnx﹣，
∵y＝lnx单调递增，y＝单调递减，∴f′（x）单调递增， 又f′（1）＝﹣1＜0，f′（2）＝ln2﹣＝∴存在唯一的x0∈（1，2），使得f′（x0）＝0． 当x＜x0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x＞x0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， ∴f（x）存在唯一的极值点．
（2）由（1）知f（x0）＜f（1）＝﹣2， 又f（e）＝e﹣3＞0，
∴f（x）＝0在（x0，+∞）内存在唯一的根x＝a， 由a＞x0＞1，得∵f（）＝（
）ln﹣
，
＝
＝0，
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＞0，
∴是f（x）＝0在（0，x0）的唯一根，
综上，f（x）＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
【点评】本题考查函数有唯一的极值点的证明，考查函数有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数的证明，考查导数性质、函数的单调性、最值、极值等基础知识，考查化归
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与转化思想、函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22．【分析】（1）把θ0＝
直接代入ρ＝4sinθ即可求得ρ0，在直线l上任取一点（ρ，θ），
利用三角形中点边角关系即可求得l的极坐标方程；
（2）设P（ρ，θ），在Rt△OAP中，根据边与角的关系得答案． 【解答】解：（1）当θ0＝
时，
， ，
；
在直线l上任取一点（ρ，θ），则有故l的极坐标方程为有
（2）设P（ρ，θ），则在Rt△OAP中，有ρ＝4cosθ， ∵P在线段OM上，∴θ∈[
，
]，
，
]．
故P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈[
【点评】本题考查解得曲线的极坐标方程及其应用，画图能够起到事半功倍的作用，是基础题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．【分析】（1）将a＝1代入得f（x）＝|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1），然后分x＜1和x≥1两种情况讨论f（x）＜0即可；
（2）根据条件分a≥1和a＜1两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1），
∵f（x）＜0，∴当x＜1时，f（x）＝﹣2（x﹣1）＜0，恒成立，∴x＜1； 当x≥1时，f（x）＝（x﹣1）（x+|x﹣2|）≥0恒成立，∴x∈?； 综上，不等式的解集为（﹣∞，1）；
（2）当a≥1时，f（x）＝2（a﹣x）（x﹣1）＜0在x∈（﹣∞，1）上恒成立； 当a＜1时，x∈（a，1），f（x）＝2（x﹣a）＞0，不满足题意，
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∴a的取值范围为：[1，+∞）
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，属中档题．
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