发布时间 : 星期日 文章高考数学(理)大一轮复习习题： 数列的综合问题 word版含答案更新完毕开始阅读
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝
111
，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<.
bn·log2a2n＋232
解：(1)由题意知，{an}是首项为1，公比为2的等比数列， ∴an＝a1·2
n－1
＝2
n－1
.∴Sn＝2－1.
n设等差数列{bn}的公差为d，则b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7， ∴d＝2，则bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)证明：∵log2a2n＋2＝log22∴cn＝
1
＝
bn·log2a2n＋2
2n＋1
＝2n＋1， 2n＋1
1
2n－1
1?1?1
－＝??，
2?2n－12n＋1?
11?1?111
－∴Tn＝?1－＋－＋…＋＝ 2n－12n＋1?2?335?1?1?n1－＝. ??2?2n＋1?2n＋1
1?11?*
∵n∈N，∴Tn＝?1－?<，
2?2n＋1?2
nn－1
当n≥2时，Tn－Tn－1＝－＝
2n＋12n－1
1
2n＋1
2n－1
>0，
1
∴数列{Tn}是一个递增数列，∴Tn≥T1＝.
311
综上所述，≤Tn<.
32
12．已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N)均在函数y＝f(x)的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝
3
*
anan＋1
，试求数列{bn}的前n项和Tn.
2
解：(1)设二次函数f(x)＝ax＋bx(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b.
由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2， 所以f(x)＝3x－2x.
又因为点(n，Sn)(n∈N)均在函数y＝f(x)的图象上， 所以Sn＝3n－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2n)－＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝3×1－2×1＝1＝6×1－5，
2
2
2
*
2
所以an＝6n－5(n∈N)． (2)由(1)得bn＝
3
*
anan＋1
＝
6n－5
3
[6n＋1
－5]
1?1?1
－＝??，
2?6n－56n＋1?
1?11?11?111?3n故Tn＝1－＋?－?＋…＋－＝?1－＝. ?27?713?6n－56n＋12?6n＋1?6n＋1