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实验二快速傅立叶变换（FFT）及其应用
一、实验目的
1.在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT的理解，熟悉FFT子程序。 2.熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法
3.了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题以便在实际中正确应用FFT。
二、实验原理
在各种信号序列中，有限长序列信号处理占有很重要地位，对有限长序列，我们可以使用离散Fouier变换(DFT)。这一变换不但可以很好的反映序列的频谱特性，而且易于用快速
N?1X(k)?算法在计算机上实现，当序列x(n)的长度为N时，它的DFT定义为：
?j2nN?x(n)Wn?0knN，
WN?ex(n)?1NN?1反换为：
?X(k)Wk?0?knN有限长序列的DFT是其Z变换在单位圆上的
等距采样，或者是序列Fourier变换的等距采样，因此可以用于序列的谱分析。 FFT并不是与DFT不同的另一种变换，而是为了减少DFT运算次数的一种快速算法。它是对变换式进行一次次分解，使其成为若干小点数的组合，从而减少运算量。常用的FFT是以2为基数的，其长度 N=2L，它的效率高，程序简单使用非常方便，当要变换的序列长度不等于2的整数次方时，为了使用以2为基数的FFT，可以用末位补零的方法，使其长度延长至2的整数次方。
在运用DFT进行频谱分析的过程中可能产生几种问题：
(1) 混叠
序列的频谱时被采样信号的周期延拓，当采样速率不满足Nyquist定理时，就会发生频谱混叠，使得采样后的信号序列频谱不能真实的反映原信号的频谱。 避免混叠现象的唯一方法是保证采样速率足够高，使频谱混叠现象不致出现，即在确定采样频率之前，必须对频谱的性质有所了解，在一般情况下，为了保证高于折叠频率的分量不会出现，在采样前，先用低通模拟滤波器对信号进行滤波。
(2) 泄漏
实际中我们往往用截短的序列来近似很长的甚至是无限长的序列，这样可以使用较短的DFT来对信号进行频谱分析，这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数，也相当于在频域将信号的频谱和矩形窗函数的频谱卷积，所得的频谱是原序列频谱的扩展。
泄漏不能与混叠完全分开，因为泄漏导致频谱的扩展，从而造成混叠。为了减少泄漏的影响，可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减至最小。
DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数，就一定意义上看，用DFT来观察频谱就好像通过一个栅栏来观看一个图景一样，只能在离散点上看到真实的频谱，这样就有可能发生一些频谱的峰点或谷点被“尖桩的栅栏”所拦住，不能别我们观察到。
减小栅栏效应的一个方法就是借助于在原序列的末端填补一些零值，从而变动DFT的点数，这一方法实际上是人为地改变了对真实频谱采样的点数和位置，相当于搬动了每一根“尖桩栅栏”的位置，从而使得频谱的峰点或谷点暴露出来。
用FFT可以实现两个序列的圆周卷积。在一定的条件下，可以使圆周卷积等于线性卷积。一般情况，设两个序列的长度分别为N1和N2，要使圆周卷积等于线性卷积的充要条件是
FFT的长度
N≥N1＋N2
对于长度不足N的两个序列，分别将他们补零延长到N。 当两个序列中有一个序列比较长的时候，我们可以采用分段卷积的方法。有两种方法： 重叠相加法。将长序列分成与短序列相仿的片段，分别用FFT对它们作线性卷积，
再将分段卷积各段重叠的部分相加构成总的卷积输出。
重叠保留法。这种方法在长序列分段时，段与段之间保留有互相重叠的部分，在构成总的卷积输出时只需将各段线性卷积部分直接连接起来，省掉了输出段的直接相加。 (3) 栅栏效应
DFT是对单位圆上z变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续 函数，从某种意义上讲，用DFT来观察频谱就如同通过一个栅栏来观看景象一 样，只能在离散点上看到真实的频谱，这样一些频谱的峰点或谷点就可能被\尖 桩的栅栏\挡住，也就是正好落在两个离散采样点之间，不能被观察到。
减小栅栏效应的一个方法是在原序列的末端填补一些零值，从而变动DFT 的点数，这一方法实际上是人为地改变了对真实频谱采样的点数和位置，相当于 搬动了\尖桩栅栏\的位置，从而使得频谱的峰点或谷点暴露出来。
(4) DFT的分辨率
填补零值可以改变对DTFT的采样密度，人们常常有一种误解，认为补零可以提高DFT的频率分辨率，事实上，DFT的频率分辨率通常规定为效长度，而不是补零的长度。不同长度的
x?n?fsN，这里的N是指信号
x?n?的有
x?n?，其DTFT的结果是不同的;而相同长度的
尽管补零的长度不同其DTFT的结果应是相同的，它们的DFT只是反映了对相同的DTFT采用了不同的采样密度。
总结一下: 要提高DFT分辨率只有增加信号
三、实验用到序列 a) 高斯序列
???n?p?q?xa?n???e?0?2x?n?的截取长度N。
0?n?15其他
b) 衰减正弦序列
?an?sin2fn????exb?n???其他??0
?0n?15
c) 三角波序列
0?n?3?n ?xc?n???8?n4?n?7??0 其他
d) 反三角波序列
0?n?3?4?n ?xd?n???n?44?n?7??0 其他
四、实验内容
Matlab编程实现FFT实践及频谱分析 ．
1.用Matlab产生正弦波,矩形波,以及白噪声信号，并显示各自时域波形图 2．进行FFT变换，显示各自频谱图，其中采样率，频率、数据长度自选 3．做出上述三种信号的均方根图谱,功率图谱,以及对数均方根图谱 4．用IFFT傅立叶反变换恢复信号，并显示恢复的正弦信号时域波形图 源程序
%***************1.正弦波****************% fs=100;%设定采样频率 N=128;
n=0:N-1; t=n/fs;
f0=10;%设定正弦信号频率 %生成正弦信号 x=sin(2*pi*f0*t); figure(1);
subplot(231);
plot(t,x);%作正弦信号的时域波形 xlabel('t'); ylabel('y');
title('正弦信号y=2*pi*10t时域波形'); grid;
%进行FFT变换并做频谱图
y=fft(x,N);%进行fft变换 mag=abs(y);%求幅值
f=(0:length(y)-1)'*fs/length(y);%进行对应的频率转换 figure(1); subplot(232);
plot(f,mag);%做频谱图 axis([0,100,0,80]); xlabel('频率(Hz)'); ylabel('幅值');
title('正弦信号y=2*pi*10t幅频谱图N=128'); grid;
%求均方根谱 sq=abs(y); figure(1); subplot(233); plot(f,sq);
xlabel('频率(Hz)');
ylabel('均方根谱');
title('正弦信号y=2*pi*10t均方根谱'); grid;
%求功率谱 power=sq.^2; figure(1); subplot(234); plot(f,power);
xlabel('频率(Hz)'); ylabel('功率谱');
title('正弦信号y=2*pi*10t功率谱'); grid;
%求对数谱 ln=log(sq); figure(1); subplot(235); plot(f,ln);
xlabel('频率(Hz)'); ylabel('对数谱');
title('正弦信号y=2*pi*10t对数谱'); grid;
%用IFFT恢复原始信号 xifft=ifft(y);
magx=real(xifft);
ti=[0:length(xifft)-1]/fs; figure(1); subplot(236);
plot(ti,magx); xlabel('t'); ylabel('y');
title('通过IFFT转换的正弦信号波形');
grid;
%****************2.矩形波****************% fs=10;%设定采样频率 t=-5:0.1:5; x=rectpuls(t,2); x=x(1:99);
figure(2); subplot(231);
plot(t(1:99),x);%作矩形波的时域波形 xlabel('t');
ylabel('y');
title('矩形波时域波形'); grid;