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中学数学几何一个重要的定理----蝴蝶定理
蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于E，F，则M为EF之中点。
关于蝴蝶定理的证明，出现过许多优美奇特的解法，并且知道现在还有很大的研究价值。其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它使用的是面积证法。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录老师以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。
在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明。
如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M点不再是中点，能得到坎迪定理、若M、N点是AB的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。
蝴蝶定理的证明
（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明
蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单
几何方法完成蝴蝶定理的方法。
1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！
证法1 如图2，作OU?AD，OV?BC，则垂足U，V分别为AD、BC的中点，且由于
?EUO??EMO?90? ?FVO??FMO?90?
得M、E、U、O共圆；M、F、V、O共圆。 则?AUM=?EOM，?MOF??MVC
又MADMCB，U、V为AD、BC的中点，从而?MUA?MVC，?AUM??MVC
则 ?EOM??MOF，于是ME=MF。[1]
证法2 过D作关于直线OM的对称点D'，如图3所示，则 1 ?FMD'??EMD，MD=MD' ○
联结D'M交圆O于C'，则C与C'关于OM对称，即
PC'?CQ。又
PUEMVDOACFQ111?CFP=（QB+PC）=（QB+CC'+CQ）=BC'=?BD'C'
222故M、F、B、D'四点共圆，即?MBF??MD'F
而 ?MBF??EDM ○2 由○1、○2知，?DME??D'MF，故ME=MF。
证法3 如图4，设直线DA与BC交于点N。对?NEF及截线AMB，?NEF及截线CMD分别应用梅涅劳斯定理，有
FMEANBFMEDNC ???1，???1 MEANBFMEDNCF由上述两式相乘，并注意到
NA?ND?NC?NB
FM2ANNDBFCFBF?CF?????得 2MEAEEDBNCNAE?EDDB图 2APEC'CFMQOBD'图 3
PM+MF??MQ-MF?PM2?MF2? ? ?22?PM-ME??MQ+ME?PM?ME
化简上式后得ME=MF。[2] 2 不使用辅助线的证明方法
单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 证法 4 （Steven给出）如图5，并令
?DAB=?DCB???ADC=?ABC???DMP=?CMQ???AMP=?BMQ?? PM?MQ?aME?x，MF?yNAPEMCFQS?AMES?FCMS?EDMS?FMB????1即 由
S?FCMS?EDMS?FMBS?AME，
AM?AE?sin?FM?CM?sin?ED?MD?sin?MF?MB?sin?????1MC?CF?sin?EM?MD?sin?FB?BM?sin?MA?ME?sin?DOB
MF2CF?FBQF?FP?a?y??a?y?a2?y2化简得 ????ME2AE?EDPE?EQ?a?x??a?x?a2?x2y2a2?y2即 2?2从而 x?y,ME?MF。 2xa?x，
图 4证法 5 令?PMD??QMC??，?QMB??AMP??，以点M为视点，对
?MBC和?MAD分别应用张角定理，有
sin?????sin?sin?sin?????sin?sin???，??MFMCMBMEMDMAAαPEδγγMδαCFQ
上述两式相减，得
β1?sin?sin??1sin????????MA??MC?MD???MBD??MFMEMC?MDMA?MB??OβB
设G、H分别为CD、AB的中点，由OM?PQ，有
图 5
MB?MA?2MH?2OMcos?90?????2OMsin?MD?MC?2MG?2OMcos?90?????2OMsin?
1??1?于是 sin??????而????180?，知sin，故?????0???0?MFME?，
ME=M。F
2y A（二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的
证明
在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。
证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为
x??y?a??R2221CP2EM1FQ2DO2直线AB的方程为y?k1x，直。
3B图 64线CD的方程为y?k2x。
由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为
??x2??y?a??R2??????y?k1x??y?k2x????0 ??令y?0，知点E和点F的横坐标满足二次方程????k1k2?x2???a2?R2??0由于x的系数为0，则两根x1和x2之和为0，即x1??x2，故ME=MF。[5]
证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则
圆的方程可写为
2，
PD2?x?a?2?y2?r2
E1A直线AB、CD的方程可写为
y?k1x,y?k2x。
的坐标为
2OM1CF又设A、、B、C?xi,yi?程
i,?1,2则,x1、3x,4分别是二次方4，
222?k12x2?r2,?x?a??k2x?r22Q?x?a?B2图 73的一根。AD在y轴上的截距为