发布时间 : 星期五 文章相似三角形知识点归纳(全)8号更新完毕开始阅读
《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题
知识点1 有关相似形的概念
(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.
(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．
知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质
（1）定义： 在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段．
注：①比例线段是有顺序的，如果说a是b,c,d的第四比例项，那么应得比例式为：
bd?． ca?ab(交换内项)?c?d，?ac ②???d?c， 核心内容：ad?bc (交换外项)?bd?ba?db(同时交换内外项)?c?a．?（2）黄金分割：把线段AB分成两条线段AC,BC(AC?BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，即AC?AB?BC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中
2AC?5?1ACBC5?1长短5?1AB≈0.618AB．即?? 简记为：＝＝ 2ABAC2全长20
注：①黄金三角形：顶角是36的等腰三角形
②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质：
aca?bc?d???． bdbd
注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
?b?ad?c??ac?ac发生同样和差变化比例仍成立．如：???等等．
bd?a?b?c?d??a?bc?d acem?????(b?d?f???n?0)， bdfna?c?e???ma?． 那么
b?d?f???nb（4）等比性质：如果
ABCDEF
知识点3 比例线段的有关定理
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD∥BE∥CF,
可得
ABDEABDEBCEFBCEFABBC等. ?或?或?或?或?BCEFACDFABDEACDFDEEFA特别在三角形中： 由DE∥BC可得：
ADAEBDECADAE ?或?或?DBECADEAABACBDEC
知识点4 相似三角形的概念
（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．
注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．
③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．
（2）三角形相似的判定方法
1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.
2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似． AA
3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS 4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS 5、判定定理4：直角三角形中，“HL” 全等与相似的比较： 三角形全等 两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL） 三角形相似 两角对应相等 两边对应成比例，且夹角相等 三边对应成比例 “HL” （3）射影定理： 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，
2
则 ∽ ＝＝＞ AD=BD·DC，
2
∽ ＝＝＞ AB=BD·BC ，
2
∽ ＝＝＞ AC=CD·BC .
B
ADC知识点5 相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形周长的比等于相似比．
(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
知识点6 相似三角形的几种基本图形：
（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图） ADE A ED CCBB(3)(1)
(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、
“反A共角共边型”、 “蝶型”） DAA
1
EE 4E1A
D 1D22C2 CBCBB(3)一线三等角的变形:
知识点7 等积式证明题常用方法归纳：
(1)总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似” (2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.
(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.
即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。
(4) 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成 比例.
注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。
知识点8 相似多边形的性质
(1)相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比．
(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比． (3)相似多边形面积比等于相似比的平方．
注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键．
知识点9 位似图形有关的概念与性质
（1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点. （2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. （3） 位似图形的对应边互相平行或共线. （4）位似图形具有相似图形的所有性质.
位似图形的性质：
? 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
?在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或-k.（若位似中心不是原点，则向坐标轴作垂直构造直角三角形，利用相似解决或是先平移到原点，求出对应点的坐标再平移回去）
知识点一：平行线成比例定理 典型例题
BE3AE交BD于点F，例1、如图，平行四边形ABCD中E是BC上的一点，?，
EC4BE 及DF的值。BF?6cm，求ADA FD
BEC例2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，E是CD的中点，AE交BD于F，
则DF:FO＝_____。