发布时间 : 星期四 文章第7讲从函数角度认识数列教师版更新完毕开始阅读
f(x)是定义在[0，1]上的增函数，满足xf(x)?2f(),f(1)?1，在每个区间
211(i,i－1](i?1,2?)上，y?f(x)的图象都是斜22率为同一常数k的直线的一部分。
（1）求f(0),f(),f()的值，并归纳出
lgSn?lg(bn?1?n?2)?lgbn-1bn?1?n?2?lgbn-1?Sn?b2?n?2 bn-11214当n=1时，a1?S1?b2?1，当n≥2时，
1f(i)(i?1,2?)的表达式。 211（2）设直线x?i,x?i－1,x轴及y?f(x)的图
22象围成的梯形的面积为ai(i?1,2?)，求
n?2?2S?b???nbn-1??S?b2?n?3n?1?bn-2?an?两式相减得：
S(k)?lim(a1?a2???an)的表达式、定义域
n??(1-b)n?3b?2
bn-1及最小值。 参考答案：
1、C；2、C；3、B；4、
而当n=1时， a1?b2?1不适合上式，
12(n?9n)； 45、（1）an?2?3n?1；（2）可类似于例7的证明。
?b2?1, n?1? ?an??(1-b)n?3b?2, n?2?n-1b?an?(2) 由(1)知：当n≥2时，
(1-b)n?3b?2
bn-111116、（1）f(0)?0,f()?,f()?，归纳得：
224411f(i)?i(i?1,2?)可利用数学归纳法证明；224?k4?k(0?k?1)，最小（2）ai?2i?1，S(k)?621值为。
2
四
∵n∈N*，n≥4时，恒有an+1?an
?(1-b)(n?1)?3b?2(1-b)n?3b?2??0 bnbn-1 其中b>0,且b≠1
法1：（构建以b为“主元”的不等式：含参数的不等式的解法）
、综
?(n?3)b2?2(n?2)b?(n?1)?0 即(b?1)[(?n ]3?)b?n? 1
合应用
例19、已知数列{an}的前n项之和Sn ，满足条件
lgSn?(n?1)lgb?lg(b≠1
n?1?n?2),其中b>0,且b
?b?1或b?(1?2)max?1?2?3 n?3(1)求数列{an}的通项公式，(2)若对n∈N*，n≥4时，恒有an+1?an，试求b的取值范围
解
：
(1)
由
已
知
得
：
法2：题型：若g(m)>f(x)在x∈D时恒成立，从而转化为函数值域、不等式问题。
3b2 ?4b?1n?2， n有最小值4，
b?2b?1第 5 页 共 8 页
3b2 ?4b?14?2成立
b?2b?1法
3：构造关于
n
的一次函数：
g(n)?(b?1)2n?（3b2 ?4b?1）?0 (n?4)∴
g(n)是增函数 即
gmin(n)=g(4)>0 4（b2?2b?1）?(3b2?4b?1)?0
例20．数列?an?中，a1?8,a4?2且满足
mnm*?对任意n?N成立，即对
32n?116*任意n?N成立，
n1?(n?N*)的最小值是，n?12m1??,?m的最大整数值是7。 162*即存在最大整数m?7,使对任意n?N，均有
mTn?.
32若Tn?说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。
例21．（07天津文20）在数列?an?中，a1?2，
an?2?2an?1?an n?N*
⑴求数列?an?的通项公式；
⑵设Sn?|a1|?|a2|???|an|，求Sn；
⑶
设
=
an?1?4an?3n?1，n?N*．
（Ⅰ）证明数列?an?n?是等比数列；（Ⅱ）求数列
bn1n(12?an)*(n?N*),Tn?b1?b2???bn(n?N*)，是否存
在最大的整数m，使得对任意n?N，均有
?an?的前n项和Sn；
（Ⅲ）证明不等式Sn?1≤4Sn ，对任意n?N皆成立．
本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力
（Ⅰ）证明：由题设an?1?4an?3n?1，得
*Tn?m成立？若存在，求出m的值；若不存在，32请说明理由。 解：（1）由题意，an?2?an?1?an?1?an，?{an}为等差数列，设公差为d，
2?8?3d?d??2由题意得
?an?8?2(n?1)?10?2n. （
2
）
若
，
10?2n?0则n?5，
n?5时,Sn?|a1|?|a2|???|an|
8?10?2n?a1?a2??an??n?9n?n2,
2n?6时，Sn?a1?a2???a5?a6?a7??an
故Sn? （
an?1?(n?1)?4(an?n)，n?N*．又a1?1?1，
所以数列?an?n?是首项为1，且公比为4的等比数列．
?S5?(Sn?S5)?2S5?Sn?n2?9n?409n?n2n?9n?402
n?5n?6
）
3
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知an?n?4n?1，于是数列?an?的通项公式为an?4n?1?n．
?bn?11111??(?)
n(12?an)2n(n?1)2nn?1?n4?1n(n?1)11111111所以数列11S??的前项和． ann?[(1?)?(?)?(?)???(?)?(??)]n?32222334n?1nnn?1n*?. n?N（Ⅲ）证明：对任意的， 2(n?1)Tn第 6 页 共 8 页
?4n?1n(n?1)?4n?1?1(n?1)(n?2)Sn?1?4Sn???4???3232??
1???b?an??2n?
2?b??11???2n?1??b?an??2n? 2?b2?b??1??(3n2?n?4)≤0．
2所以不等式Sn?1≤4Sn，对任意n?N皆成立． 例22、（08四川理20）设数列?an?的前n项和为Sn，已知ban?2??b?1?Sn
nn?1（Ⅰ）证明：当b?2时，an?n?2是等比数因此an?1?*?2?1?b?n?b 2?bn?1?2?得an??1 nn?1?2??2?2b?b?n?2???2?b?例23、（07全国2理21）设数列{an}的首项
??列；
（Ⅱ）求?an?的通项公式 解：由题意知a1?2，且
a1?(0，，1)an?3?an?1，n?2，3，4，…． 2（1）求{an}的通项公式；（2）设bn?an3?2an，证明bn?bn?1，其中n为正整数． 解：（1）由an?得 1?an?? ban?2n??b?1?Sn ban?1?2n?1??b?1?Sn?1
两式相减得b?an?1?an??2??b?1?an?1
n3?an?1，n?2，3，4，…， 整理21(1?an?1)． 2即an?1?ban?2n ①
（Ⅰ）当b?2时，由①知an?1?2an?2n 于是an?1??n?1??2?2an?2??n?1??2
nnnn?1 ?2an?n?2
n?1又a1?1?2n?1?1?0，所以an?n?2是首项为又1?a1?0，所以{1?an}是首项为1?a1，公
比为?1的等比数列，得 2
?1?an?1?(1?a1)????2?n?1
?? （2）方法一：
由（1）可知0?an???3，故2bn?0．
22那么，bn?1?bn
22?an?1(3?2an?1)?an(3?2an)1，公比为2的等比数列。
（Ⅱ）当b?2时，由（Ⅰ）知an?n?2即an??n?1?2n?1n?1?2n?1，
当b?2时，由由①得
an?1?11?2n?1?ban?2n??2n?1 2?b2?bb?ban??2n
2?b3?an?2?3?an??3?2? ??????an(3?2an)
22????9a?n(an?1)2.4 22又由（1）知an?0且an?1，故bn ?b?1n?0，
2第 7 页 共 8 页
因此
bn?bn?1，n为正整数．
3，an?1， 2，
所
以
an?1?an?4?3n?1?(a?3)2n?2
?2n?2方法二：由（1）可知0?an?因
为
an?1?3?an2??3?n?2?12?a?3????， ??2????当n≥2时，
bn?1?an?13?2an?1(3?an)an． ?23?3?an?由an?1可得an(3?an2??)?，即
?2?
?3?an?1≥an?12???2??a≥?9．
又a2?a1?3?a1．
n?2?a?3≥0
?3?an?a(3?2an)???an
?2?2n2两边开平方得
an3?an3?2an?2综上，所求的a的取值范围是??9，???．
an．
即 bn?bn?1，n为正整数．
例24．（08全国2理20）设数列?an?的前n项和为
Sn．已知a1?a，an?1?Sn?3n，n?N*．
（Ⅰ）设bn?Sn?3n，求数列?bn?的通项公式； （Ⅱ）若an?1≥an，n?N，求a的取值范围．
*解：（Ⅰ）依题意，Sn?1?Sn?an?1?Sn?3n，即
Sn?1?2Sn?3n，
由此得Sn?1?3n?1?2(Sn?3n)． 因此，所求通项公式为
bn?Sn?3n?(a?3)2n?1，n?N*．①
（Ⅱ）由①知Sn?3n?(a?3)2n?1，n?N， 于是，当n≥2时，
*an?Sn?Sn?1
?3n?(a?3)?2n?1?3n?1?(a?3)?2n?2 ?2?3n?1?(a?3)2n?2，
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