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第6讲从函数角度认识数列
一、从函数视角解决数列问题
数列是一类定义在正整数集或它的有限子集
系，从而合理地找到解决问题的办法。
例10、（1997年上海市高考试题）
设 f(n)=
?1,2,3,?,n?上的特殊函数，可见，任何数列问题
都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有
特征。另外，数列与函数的综合也是当今高考命题的重点与热点，因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题。 （在下面所选讲的问题中，都是从函数的角度展开，事实上，每个问题都还有其它解法，请大家能充分综合数列有关知识，从多角度、多方位完成，） 例9、（2010高考辽宁卷16）已知数列?an?满足
111????? (n∈n?1n?22nN)，则f(n+1)－f(n)等于（ ）
11 B、 C、
2n?12n?21111?? D、 2n?12n?22n?12n?2A、
点拨：此题从形式上看是考查学生对数列的通项的意义的理解，但事实上更侧重于对函数符号及对应关系的考查，解决它的关键在于如何引导学生对函数
a1?33,an?1?an?2n,则
__________.
an的最小值为nf(x)=
1111?????的概念的x?1x?2x?32x本质的理解，即如何正确表示f(x?1)，从而得出答案Ｄ。 例11、（1999年全国高考试题）
已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线,当n≤y≤n+1(n=0,1,2……)时，该图象是斜率为b的线段（其中正常数b≠1），设数列?xn?,
n由f(xn)=n (n=1,2……)定义，求x1，x2和xn的表达式。
点拨：本题是集函数概念、直线斜率、数列等知识于一体的综合问题，具有高度的抽象性，要求学生掌握归纳、推理、综合等基本能力，同时能合理运用数形结合思想直观简化问题，解决它的关键是如何通过斜率把函数的两个变量有机结合起来，再根据两者的对应关系反映到数列?xn?的递推关系中。
（一）、以函数概念为载体，合理消化数列问题。
设计意图：通过对数列中的通项公式，前n项和公式等这些特殊函数关系的概念的理解与分析，引导学生充分认识an与n，Sn与n之间的对应关
即
f(xn)?f(xn?1)n?1=b(n=1,2……)，其中
xn?xn?11，
x0=0，则 xn－xn?1=
bn?111且x1=，可求得 x2=1+，由递推关系通过累加
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b?得xn=
1n?1b。 b?1sm?n=0 。当然此题可以有其它很多方法来解决，但是我们从中不难发现利用函数图象直观简便。
例13、（2000年成都市诊断性试题）
已知等差数列?an?，公差为d，等比数列?bn?，公比为q(q>１) ， 若a2=b2=2，a4=b4。
(1) 比较a1与b1，a3与
b3的大小； (2) 猜想并证明a
n
（二）、以函数图象为工具，直观简化数列问题。
设计意图：函数图象是函数特征的直观体现，利用图象解决数学问题（以形助数）是我们在解决问题中经常采用的手段。在数列中，我们可以利用等差数列通项公式、前n项和公式及等比数列的通项公式中展示的图象关系来解决问题，常常会起到意想不到的效果。
例12、在等差数列?an?中，sn是其前n项和，公差为d?0.
（1）若an=m，am=n(m≠n)，求am?n
与
（2）若sm=sn(m≠n)，求sm?n
bn(n≥ 5)的大小关
点拨：（1）由an=a1+(n－1)d=dn+(a1－d)可知：an是关于n的一次式，则三点(m, am)、(n，
系。
点拨：由题意知an=2+(n－2)d=dn+2－2d， bn=2q
n?2an)、(m+n, am?n)共线，根据任意两点斜率相等得am?n=0。
（sn=na1+
2
）
由
根据函数y=2q
x?2与
y=dx+2－2d的图象可知，在x=2与x=4处有两个公共点，则a1
an 再可结合比较法 及数学归纳法证明。 （三）、以函数性质为手段，有效分化数列问题。 设计意图：函数性质是函数特征的显性反映，深入挖掘并利用函数的性质可以大大简化解题过程，收到较好的解题效果。如函数的单调性、周期性等性质在数列中应用很广泛，通过下面这些问题的分析，不但可以使学生进一步巩固函数的性质，而且可以让学生提高解决数列问题的视野。 例14、（2010高考重庆理科15）已知函数f(x)满足 ： n(n?1)dd2d=n?(a1?)n可知：sn222是关于n的二次式，且无常数项，令f(x)= d2dx?(a1?)x，由 sm=sn 22m?n得f(m)=f(n)，则x=为此二次函数图象的对 2称轴， 因此 f(m+n)= f(0)=0，即 sm?n=0 。 另解：由s n= d2dn?(a1?)n得22ssndd?n?a1?可知：n是关于n的一次式，n22nsss则三点（m,m),(n,n),(m?n,m?n)共线，易求 mnm?nf(?141， )4f(x)f(y)?f(x?y)?f(x?y),(x,y?R)，则 第 2 页 共 8 页 f(2010)?____________． 【答案】 解析：(1) 当n?1时，a1??14；当n≥2时，5an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1，所以an?1?(an?1?1)， 6又a1?1??15≠0，所以数列{an?1}是等比数列； 1 21 2解析：取x=1 y=0得f(0)?(2) 由(1)知： n?1?5?an?1??1??5??6?n?1，得 法一：通过计算f(2),f(3),f(4)........，寻得周期为6 法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故 ?5?an?1?1??5??6??5?Sn?75????6?n?1，从而 ?n?90(n?N*)； f?2010?=f(0)= 1. 2例15、已知数列?an?满足an?2=an?1－an，a1=1，a2=2，求s2005 点拨：令f(n)= an，则f(n+2)=f(n+1)－f(n) 若函数f(x)满足f(x+2)=f(x+1)－f(x)，则 f(x+3)=f(x+2)－f(x+1) 相加得f(x+3)=－f(x)，则f(x+6)=－f(x+3)，因此 f(x)＝f(x+6) 即函数y=f(x)的周期为６ ，则易求f(x)+f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)+f(x+4)+f(x+5)=0 所以s2005?a1???a2005?a1?1 本题是通过变量间规律的探求，发现存在周期性，这样在大大简化了解题过程的同时，很好地培养了学生的思维能力。 例16、（2010高考上海理科20） 已知数列?an?的前 解不等式 Sn ?5????6?n?1?25， n?log562?1?14.9，当n≥15时，数列{Sn}单调递25增； 同理可得，当n≤15时，数列{Sn}单调递减；故当n?15时，Sn取得最小值 例17、（2000年北京西城区抽样测试题） 已知数列?an?是以a为首项，a为公比的等比数列(a>0,a≠1)，令bn=anlgan若?bn?中每一项总小于它后面的项，求a的范围。 点拨：由已知得an=a，则bn=nalga，又bn?1> bn，则nlga<(n+1)alga nnn项和为Sn，且Sn?n?5an?85，n?N* n显然成立。 n?1nx（2）当０ n?1x?1（1）当a>1时，a> 则f(x)在(0,+∞)上是增函数， （1）证明：?an?1?是等比数列； （2）求数列?Sn?的通项公式，并求出n为何值时， Sn取得最小值，并说明理由。 n?1 （2）Sn=n?75()?90 n=15取得最小值 n11)min=，(n∈N)，因此0 2则 ( 此题意在寻找递增数列的条件，通过转化归结为恒成立类型的问题，再利用函数的单调性求出最小值，从而得到结果。 56第 3 页 共 8 页 (四)、以构造函数为途径，巧妙转化数列问题。 设计意图：构造函数解决数学问题是函数思想中的中心所在，其实质是把所求问题转化为以函数背景的问题，再利用函数的有关概念、图象、性质来帮助解决，这样有利于培养学生的数学思想方法与解题能力。 例18、（１９９５年全国高考试题）设?an?是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和。 （1）证明 数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得 以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高。另外，对上述问题还有许多其它的解法，应注意引导与发散。 配套练习： 1、（1996年全国高考试题） 设等差数列?an?的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ） A 、130 B 、1 C 、210 D 、260 2、（2002年上海市春季招生试题） 设等差数列?an?的前n项和为Sn，已知 lgsn?lgsn?2?lgsn?1； 2使得 （2）是否存在常数c?0lgsn(?c)?lgsn?(2?c)?lgsn?(1?c)成立？并证 2明。 点拨：（1）设f(x)?snx2?2sn?1x?sn?2，下 S5?S6,S6?S7?S8,则在下列结论中错误的是 ( ) Ａ、d?0 B、a7?0 C、S9?S5 D、 S6,S7均为Sn中的最大值 证其图象与x轴有两个不同的交点，显然Sn＞０，故其开口向上，令它的公比为q，当q＝1时， 3、（2004年重庆市高考试题） 设等差数列?an?的前n项和为Sn，a1?0,若 f(x)?a1(nx?n?2)(x?1)； a2003?a2004?0,a2003?a2004?0,则使Sn?0成立 当 0?q?1时， f(?1)?sn?2sn?1?sn?2?an?1(q?1)?0；当q?1时 ， 的最大自然数n为（ ） Ａ、4005 B、4006 C、4007 D、4008 4、（2000年全国高考试题） 等差数列?an?的前n项和为Sn，若 f(?q)?snq2?2sn?1q?sn?2?a1(1?q)?0。因 此其图象与x轴必有两个不同的交点，则对应方程的 判 别 式 ss7?7,s15?75,Tn为数列{n}的前n项和，则 n??4(s2n?1?snsn?2)?0,即 Tn=_____________。 5、（2004年甘肃等省高考试题） 已知?an?是等比数列，a2?6,a5?162。 （1）求数列?an?的通项公式；（2）设Sn是数列?an?其前n项和，证明 s2n?1?snsn?2，两边取常用对数即可。对于（2） 可 考 察 f(x)?(sn?c)x2?(2sn?1?c)x?(sn?2?c)来完 成。 通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过 sn?sn?2?1。 s2n?16、（2004年北京市高考试题） 第 4 页 共 8 页