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①求证：△KGD∽△KEG； ②若
，AK=
，求BF的长.
【答案】 （1）证明：如图，连接OG.∵EG=EK，
∴∠KGE=∠GKE=∠AKH， 又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG， ∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°， ∴∠KGE+∠OGA=90°， ∴EF是⊙O的切线.
（2）解：①∵AC∥EF，∴∠E=∠C， 又∠C=∠AGD，∴∠E=∠AGD， 又∠DKG=∠CKE， ∴△KGD∽△KGE. ②连接OG，如图所示.∵ 设
，∴
，AK= ，
， ，则
KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5k，∴HK=CK－CH=k. 在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2 ， 即
，
，
，
，则
，
设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC=R，OH=R－3k，CH=4k， 由勾股定理得：OH2＋CH2=OC2 ， 在Rt△OGF中， ∴
，∴
，∴
，
【解析】【分析】（1）连接OG.根据切线的判定，证出∠KGE+∠OGA=90°，故EF是⊙O的切线.（2）①证∠E=∠AGD，又∠DKG=∠CKE，故△KGD∽△KGE.②连接OG.
，
设 ， ， ，则 ，在Rt△AHK中，根据勾股定
理得AH2+HK2=AK2 ， 即
；在Rt△OGF中，
；由勾股定理得：OH2＋CH2=OC2 ，
，
，
11．操作： 是 、 探究：
和
都是等边三角形，
绕着 点按顺时针方向旋转，
的中点，有以下三种图形.
（1）在上述三个图形中， 比值； （2）（3）
与
的值是否也等于这个定值，若是，请结合图（1）证明你的结论； 有怎样的位置关系，请你结合图（2）或图（3）证明你的结论.
是等边三角形，由图（1）得AO⊥BC，
；
，
∴ ∴ ∴
是否一个固定的值，若是，请选择任意一个图形求出这个
【答案】 （1）解：∵ ∴
，∴
（2）证明：
，
（3）证明：在图（3）中，由（2）得 ∴
∵∠AOB=90°， ∴
，
∴∠2+∠4=∠1+∠3，即∠AEF =∠AOB
∴
.
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得AO⊥BC，BO= BC= AB，根据勾股定理计算即可求得AO= 可得AO⊥BC，
BO，即AO∶BO是一个固定的值
，由同角的余角相等可得 ，可得
；（3）在图（3）中，由（2）得 .
∶1；（2）由等边三角形的性质
，由（1）可得
，根据相似三角形的性质可得
，根据相似三角形的
性质可得∠1=∠2，根据对顶角相等得∠3=∠4，则∠2+∠4=∠1+∠3=∠AOB=90°，即
12．如图，在△ABC中，∠C=90°,AE平分∠BAC交BC于点E,O是AB上一点，经过A,E两点的⊙O交AB于点D，连接DE，作∠DEA的平分线EF交⊙O于点F，连接AF.
（1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若sin∠EFA= ,AF=
,求线段AC的长.
【答案】 （1）解：如图1，连接 ，
∵ ∴ ∵ 平分 ∴ ∴
∴ ∥ , ∴ ∴ ∵ 为 ∴ 是
.
，
. ， . .
的半径， 的切线.
（2）解：如图2，连接 .
由题可知 为 ∴ ∵ 平分 ∴ ∴ ∴
. ，
. . 的直径，
.
∴△AFD为等腰直角三角形，