发布时间 : 星期一 文章2018北师大版文科数学高考总复习教师用书选修4-5Word版含答案更新完毕开始阅读
(2)求at+12+bt的最大值.
解 (1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a, 则??-b-a=2, ?a=-3,?b-a=4,解得??b=1.
(2)-3t+12+t=34-t+t ≤[?3?2+12][??4-t??2+?t?2] =24-t+t=4, 当且仅当4-t3
=t
1,即t=1时等号成立, 故(-3t+12+t)max=4.
5.(2015·全国Ⅱ卷)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明:(1)若ab>cd,则a+b>c+d;
(2)a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要条件.
证明 (1)因为(a+b)2=a+b+2ab,(c+d)2=c+d+2cd,由题设=c+d,ab>cd得(a+b)2>(c+d)2.因此a+b>c+d. (2)①若|a-b|<|c-d|, 则(a-b)2<(c-d)2,
即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 因为a+b=c+d,所以ab>cd. 由(1)得a+b>c+d. ②若a+b>c+d, 则(a+b)2>(c+d)2, 即a+b+2ab>c+d+2cd. 因为a+b=c+d,所以ab>cd,
于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2. 因此|a-b|<|c-d|.
综上,a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要条件. 6.已知a,b,c均为正实数.求证: (1)(a+b)(ab+c2)≥4abc;
a+b (2)若a+b+c=3,则a+1+b+1+c+1≤32. 证明 (1)要证(a+b)(ab+c2)≥4abc, 可证a2b+ac2+ab2+bc2-4abc≥0, 需证b(a2+c2-2ac)+a(c2+b2-2bc)≥0,
即证b(a-c)2+a(c-b)2≥0,当且仅当a=b=c时,取等号, 由已知,上式显然成立,故不等式(a+b)(ab+c2)≥4abc成立. (2)因为a,b,c均为正实数,由不等式的性质知 a+1·2≤
a+1+2a+3b+1+2
=,当且仅当a+1=2时,取等号,b+1·2≤222
b+3c+1+2c+3
=2,当且仅当b+1=2时,取等号,c+1·2≤2=2,当且仅当c+1=2时,取等号,
a+b+c+9
以上三式相加,得2(a+1+b+1+c+1)≤=6,
2所以a+1+b+1+c+1≤32,当且仅当a=b=c=1时,取等号.